三角函数大题综合训练

1三角函数大题综合训练1.已知函数()2sin()cosfxxx.（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）求()fx在区间,62上的最大值和最小值.2.设函数f(x)=cos(2x+3)+sin2x.（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=31，1()24cf，且C为锐角，求sinA.3.已知函数2()sincoscos2.222xxxfx（Ⅰ）将函数()fx化简成sin()(0,0,[0,2))AxBA的形式，并指出()fx的周期；（Ⅱ）求函数17()[,]12fx在上的最大值和最小值4.已知函数()2sincos3cos442xxxfx．（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3gxfx，判断函数()gx的奇偶性，并说明理由．25.已知函数()cos(2)2sin()sin()344fxxxx（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()fx在区间[,]122上的值域6.设2()6cos3sin2fxxx．（Ⅰ）求()fx的最大值及最小正周期；Ⅱ）若锐角满足()323f，求4tan5的值．7.已知0，为()cos2fxx的最小正周期，1tan14，，a(cos2)，b，且m·ab．求22cossin2()cossin的值．8.设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2()π2－x满足f()－π3＝f(0)．求函数f(x)在[]π4，11π24上的最大值和最小值．39.已知函数2π()cos12fxx，1()1sin22gxx．（I）设0xx是函数()yfx图象的一条对称轴，求0()gx的值．（II）求函数()()()hxfxgx的单调递增区间．10.已知函数()sin(),fxx其中0，||2（I）若coscossinsin0,44求的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数()fx的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3，求函数()fx的解析式；并求最小正实数m，使得函数()fx的图像象左平移m个单位所对应的函数是偶函数。11.已知函数f(x)＝)0,0)(cos()sin(3πxx为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.2π(Ⅰ)求f(8π)的值；(Ⅱ)将函数y＝f(x)的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.12.22()(sincos)2cos(0)fxxxx的最小正周期为23．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数()ygx的图像是由()yfx的图像向右平移2个单位长度得到，求()ygx的单调递增区间．41.解（Ⅰ）∵2sincos2sincossin2fxxxxxx，∴函数()fx的最小正周期为.（Ⅱ）由2623xx，∴3sin212x，∴()fx在区间,62上的最大值为1，最小值为32.2解:（1）f(x)=cos(2x+3)+sin2x.=1cos213cos2cossin2sinsin233222xxxx所以函数f(x)的最大值为132,最小正周期.（2）()2cf=13sin22C=－41,所以3sin2C,因为C为锐角,所以3C,又因为在ABC中,cosB=31,所以2sin33B,所以2113223sinsin()sincoscossin232326ABCBCBC.3.【解析】(Ⅰ)f(x)=21sinx+23)4sin(2223)cos(sin2122cos1xxxx.故f(x)的周期为2kπ｛k∈Z且k≠0｝.(Ⅱ)由π≤x≤1217π，得35445x.因为f(x)＝23)4sin(22x在[45,]上是减函数，在[1217,45]上是增函数.故当x=45时，f(x)有最小值－223；而f(π)=－2，f(1217π)＝－466＜－2，所以当x=π时，f(x)有最大值－2.4.【解析】（Ⅰ）()fxsin3cos22xxπ2sin23x．()fx的最小正周期2π4π12T当πsin123x时，()fx取得最小值2；当πsin123x时，()fx取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin23xfx．又π()3gxfx．1ππ()2sin233gxxπ2sin22x2cos2x．()2cos2cos()22xxgxgx．函数()gx是偶函数．5.()cos(2)2sin()sin()344fxxxx－＋－＋31cos2sin2(sincos)(sincos)22xxxxxx2231cos2sin2sincos22xxxx31cos2sin2cos2sin(2)226xxxx∴周期22T.由2()62xkkZ，得()23kxkZ.∴函数图象的对称轴方程为()23kxkZ（II）∵[,]122x，∴52[,]636x.因为()sin(2)6fxx在区间[,]123上单调递增，在区间[,]32上单调递减，所以当3x时，()fx取得最大值1；又31()()12222ff，∴当12x时，()fx取得最小值32.函数()fx在[,]1225上的值域为3[,1]2．6.【解析】（Ⅰ）1cos2()63sin22xfxx3cos23sin23xx3123cos2sin2322xx23cos236x．故()fx的最大值为233；最小正周期22T．（Ⅱ）由()323f得23cos233236，故cos216．又由02得2666，故26，解得512．从而4tantan353．7.解：因为为π()cos28fxx的最小正周期，故π．因m·ab，又1costan24ab··．故1costan24m·．由于π04，所以222cossin2()2cossin(22π)cossincossin22cossin22cos(cossin)cossincossin1tanπ2cos2costan2(2)1tan4m·8【解答】f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝a2sin2x－cos2x.由f()－π3＝f(0)得－32·a2＋12＝－1，解得a＝23.因此f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin()2x－π6.当x∈[]π4，π3时，2x－π6∈[]π3，π2，f(x)为增函数，当x∈[]π3，11π24时,2x－π6∈[]π2，3π4，f(x)为减函数．所以f(x)在[]π4，11π24上的最大值为f()π3＝2.又因f()π4＝3，f()11π24＝2，故f(x)在[]π4，11π24上的最小值为f()11π24＝2.9解：（I）由题设知1π()[1cos(2)]26fxx．因为0xx是函数()yfx图象的一条对称轴，所以0π26xπk，即0π2π6xk（kZ）．所以0011π()1sin21sin(π)226gxxk．当k为偶数时，01π13()1sin12644gx，当k为奇数时，01π15()1sin12644gx．（II）1π1()()()1cos21sin2262hxfxgxxx1π31313cos2sin2cos2sin22622222xxxx1π3sin2232x．当πππ2π22π232kxk≤≤，即5ππππ1212kxk≤≤（kZ）时，函数1π3()sin2232hxx是增函数，故函数()hx的单调递增区间是5ππππ1212kk，（kZ）．610.【解析】方法一：（I）由3coscossinsin044得coscossinsin044即cos()04又||,24（Ⅱ）由（I）得，()sin()4fxx依题意，得23T又2,T故3,()sin(3)4fxx函数()fx的图像向左平移m个单位后所对应的函数为()sin3()4gxxm()gx是偶函数当且仅当3()42mkkZ即()312kmkZ从而，最小正实数12m方法二：（I）同方法一（Ⅱ）由（I）得，()sin()4fxxw依题意，得23T又2T，故3,()sin(3)4fxx函数()fx的图像向左平移m个单位后所对应的函数为()sin3()4gxxm()gx是偶函数当且仅当()()gxgx对xR恒成立亦即sin[(33)]sin(33)44xmxm对xR恒成立sin(3)cos(3)cos(3)sin(3)44xmxmsin3cos(3)cos3sin(3)44xmxm即2sin3cos(3)04xm对xR恒成立。cos(3)04m故3()42mkkZ()312kmkZ从而，最小正实数12m11.【解析】(Ⅰ)f(x)＝)cos()sin(3xx＝)cos(21)sin(232xx＝2sin(x-6π)因为f(x)为偶函数，所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin(-x-6π)＝sin(x-6π).即-sinxcos(-6π)+cosxsin(-6π)=sinxcos(-6π)+cosxsin(-6π),整理得sinxcos(-6π)=0.因为＞0，且x∈R,所以cos(-6π)＝0.又因为0＜＜π，故-6π＝2π.所以f(x)＝2sin(x+2π)=2cosx.由题意得222，所以2　＝故f(x)=2cos2x.所以.24cos2)8(f(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移6个单位后，得到)6(xf的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()46xf的图象.所以()()2cos2()2cos()464623xxxgxf当223xk2223kk(k∈Z),即4kπ＋32≤x≤4kπ+38(k∈Z)时，g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为384,324kk(k∈Z)设函数712.【解析】（Ⅰ）22()(sincos)2cosfxxxx22sincossin21cos2xxxxsin2cos222sin(2)24xxx依题意得