2.-1.2---第一课时-直线方程的点斜式课件(北师大版必修二)

上一节学的倾斜角和斜率是在直角坐标系内确定直线的几何要素．已知直线上的一点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线．这样，在直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，或给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，就能唯一确定一条直线．而且像点用坐标表示一样，直线也可用方程表示．提示：设P(x，y)是直线上任意一点，那么y－y0x－x0＝k，∴y－y0＝k(x－x0)．这就是直线的方程．问题1：若直线经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？问题2：过点(2,1)且垂直于x轴和y轴的直线方程怎样？提示：x＝2，y＝1.问题3：经过y轴上一点(0，b)且斜率为k的直线方程是什么？提示：设直线上任一点坐标为(x，y)，则y－bx＝k，即y＝kx＋b.1．直线方程的点斜式和斜截式方程名称已知条件直线方程示意图应用范围点斜式直线l上一点P1(x0，y0)及斜率k直线不与x轴垂直y－y0＝k(x－x0)斜截式直线l的斜率k及在y轴上的截距b直线不与x轴垂直y＝kx＋b方程名称已知条件直线方程示意图应用范围2．垂直于坐标轴的直线直线过点直线的方向方程形式(x0，y0)垂直于x轴x＝x0垂直于y轴y＝y03．截距的概念(1)在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的．(2)在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的.纵坐标横坐标“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”，这样的意境太美了，以至流传千年．小小的白鹭细细的长颈、洁白的羽毛，楚楚动人．让你想不到的是这小精灵的翅膀竟有二尺来长．远远望去一行白鹭展翅起飞，向着高高的蓝天翩翩而去，它们雪白的身影映着碧蓝的晴空，画出一条美丽的直线．在平面直角坐标系中，如果已知一条直线上两点的坐标，怎样求得这条直线的方程呢？问题1：若直线经过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x2≠x1)，那么直线的方程怎样表示？提示：∵k＝y2－y1x2－x1，∴由点斜式得y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)．问题2：若直线过两点(2,3)，(2,5)，方程怎样？提示：x＝2.问题3：若直线过两点(2,3)，(4,3)，方程怎样？提示：y＝3.问题4：若直线过两点(2,0)，(0,3)，方程怎样？提示：y＝－32(x－2)．直线方程的两点式和截距式方程名称已知条件直线方程示意图应用范围两点式直线l上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)y－y1y2－y1＝直线l不与坐标轴垂直x－x1x2－x1已知条件直线方程示意图应用范围截距式直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b直线l不与坐标轴垂直，且不过原点xa＋yb＝1直线方程的点斜式和两点式都有使用范围．直线的点斜式只能表示斜率存在的直线方程，两点式不能表示平行x轴，y轴的直线．但直线方程的点斜式、斜截式，两点式都是关于x、y的二元一次方程．因此直线和二元一次方程有密切联系．问题1：每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？提示：都表示一条直线．问题2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？提示：可以．问题3：x＝a，y＝b可以认为是关于x、y的二元一次方程吗？提示：可以，x＝a时，y的系数为0；y＝b时，x的系数为0.关于x、y的二元一次方程(A、B不同时为零)叫作直线方程的一般式．Ax＋By＋C＝01．已知直线经过的一点和其斜率，就可以写出直线方程的点斜式．当斜率为零时，直线垂直于y轴，直线方程为y＝y0；当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为90°，直线垂直于x轴，直线方程为x＝x0.2．已知直线经过两已知点时，可以用两点式写出直线方程，但当x1＝x2或y1＝y2时，可直接写成x＝x1或y＝y1，不要再用两点式表示．3．直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式都可写成一般式，但一般式只能在一定条件下才能写成其它形式．[例1]根据条件写出下列直线方程的点斜式．(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；(2)经过点B(4,2)，倾斜角为90°；(3)经过原点，倾斜角为60°；(4)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°.[思路点拨](1)、(3)由倾斜角求出斜率，代入直线方程的点斜式即可；(2)、(4)可直接写出来．因为(2)斜率不存在，(4)直线斜率为0.[精解详析](1)直线斜率为tan45°＝1，∴直线方程为y－4＝(x＋1)．(2)直线斜率不存在，直线平行于y轴，∴所求直线方程为x＝4.(3)直线斜率为tan60°＝3，∴所求直线的方程为y＝3x.(4)直线斜率为0，∴直线方程为y＝1.[一点通]点斜式方程使用的条件是直线的斜率必须存在，因此解答本题要先判断直线的斜率是否存在，若存在求出斜率，利用点斜式写出方程；若不存在直接写出方程x＝x0.1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2)D．y＝3(x＋2)解析：由点斜式，得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．答案：D2．过点(4，－2)，倾斜角为30°的直线方程为()A．y－2＝－33(x＋4)B．y－(－2)＝－33(x－4)C．y－(－2)＝33(x－4)D．y－2＝33(x＋4)解析：∵k＝tan30°＝33，∴由点斜式得y－(－2)＝33(x－4)．答案：C3．根据下列条件写出直线方程的点斜式．(1)经过点(3,1)，倾斜角为60°；(2)斜率为，与x轴交点的横坐标为－7.解：(1)设直线的倾斜角为α，∵α＝60°，k＝tanα＝tan60°＝3，∴所求直线的点斜式方程为y－1＝3(x－3)．32(2)由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点(－7,0)，又斜率为32，由直线方程的点斜式得y－0＝32[x－(－7)]．既y＝32(x＋7).[例2](1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k，在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．[思路点拨]利用斜截式写直线的方程须先确定斜率和截距，再利用斜截式写出直线方程．[精解详析](1)∵直线的斜率为2，在y轴上截距是3，∴直线方程的斜截式为y＝2x＋3.(2)把直线l的方程2x＋y－1＝0，化为斜截式为y＝－2x＋1，∴k＝－2，b＝1，点P的坐标为(0,1)．[一点通](1)已知直线斜率或直线与y轴交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．(2)利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距．4．求倾斜角是45°，在y轴上的截距是2的直线方程．解：∵k＝tan45°＝1，且在y轴上的截距是2，∴所求的直线方程为：y＝x＋2.5．根据条件写出下列直线方程的斜截式．(1)经过点A(3,4)，在x轴上的截距为2；(2)斜率与直线x＋y＝0相同，在y轴的截距与直线y＝2x＋3的相同．解：(1)法一：易知直线的斜率存在，设直线方程为y＝k(x－2)，∵点A(3,4)在直线上，∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8，∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)，则直线的斜率k＝4－03－2＝4，由直线的点斜式方程得y－0＝4×(x－2)＝4x－8.∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.(2)因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1，直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3，所以所求直线方程的斜截式为y＝－x＋3.[例3]已知直线l经过点P(2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．[思路点拨]先判断直线的斜率一定存在，设出直线方程的点斜式或斜截式，再去构造方程求解．[精解详析]显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－3k－2，于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12|(2k＋3)(－3k－2)|＝4，即(2k＋3)(3k＋2)＝±8.若(2k＋3)(3k＋2)＝8，则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解．若(2k＋3)(3k＋2)＝－8，则整理得4k2＋20k＋9＝0，解之，得k＝－12或k＝－92.所以直线l的方程为x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.[一点通]用斜率之前一定要说明斜率存在，否则就要分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论，这是一个非常典型的分类讨论问题．6．本例中把“直线l过P(2,3)点”改为“直线的斜率为34”，其它条件不变，求直线l的方程．解：设直线方程为y＝34x＋b.则令x＝0，y＝b；令y＝0，x＝－43b.由已知得S＝12·|b|·|－43b|＝4.∴b2＝6.∴b＝±6.所以所求直线方程为y＝34x＋6或y＝34x－6.7．已知直线l：y＝k(x－1)＋2不经过第二象限，则k的取值范围是________．解析：由l的方程知l过定点A(1,2)，斜率为k，则kOA＝2(O为坐标原点)，数形结合可得k≥2时满足条件．答案：[2，＋∞)1．对于利用点斜式方程求直线方程，首先应先求出斜率，再代入公式求解；对于利用斜截式方程求直线方程，不仅首先求斜率，还要求截距．2．对于直线的斜截式方程y＝kx＋b，根据k，b的不同情况，直线所过的象限可见下表：kb直线特征k0b0仅过第一、二、三象限b＝0仅过第一、三象限及原点b0仅过第一、三、四象限k0b0仅过第一、二、四象限b＝0仅过第二、四象限及原点b0仅过第二、三、四象限kb直线特征k＝0b0仅过第一、二象限b＝0不过任何象限，为x轴b0仅过第三、四象限