北京四中初二添加辅助线构造全等三角形

1添加辅助线构造全等三角形编稿：范兴亚审稿：赵云洁责编:邵剑英一．本周内容：在证明几何题目的过程中，常常需要通过全等三角形，研究两条线段(角)的相等关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的全等三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造全等三角形，进而证明所需的结论。在这里，我们试图通过几个典型例题让大家初步了解添加辅助线构造全等三角形的基本方法。当然这些方法体现的了添加辅助线的方法从简单到复杂，研究线段的长短关系体现了从相等到不等的递进关系。二．例题详解1．通过添加辅助线构造全等三角形直接证明线段(角)相等1．已知：如图AB=AD，CB=CD，(1)求证：∠B=∠D．(2)若AE=AF试猜想CE与CF的大小关系并证明．分析：(1)在没有学习等腰三角形的知识的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。本题中要证明∠B=∠D．在已知条件中缺少明显全等的三角形。而连结AC以后，AC作为公共边，根据题目的已知条件可以看到三角形ABC全等于三角形ADC，进而证明了∠B=∠D。如果在学习了等腰三角形的知识以后还可以连结BD，通过等边对等角，再用角等量减等量得到∠B=∠D更为简单(2)猜想CE=CF，在连结AC证明了三角形ABC全等于三角形ADC以后，得到∠EAC=∠FAC，再去证明三角形EAC全等于三角形FAC，进而证明CE=CF。证明：(1)方法1、连结AC，证明△ABC≌△ADC，进而∠B=∠D。方法2、连接BD，因为AB=AD，所以，∠ABD=∠ADB．同理，∠CBD=∠CDB．所以，∠ABD-∠CBD=∠ADB-∠CDB，即∠B=∠D。(2)由(1)得∠B=∠D，又因为BE=DF，CB=CD,故△BCE≌△CDF，进而CE=CF。通过例1我们应该初步体会添加辅助线的必要性，例1(1)(2)两个小问，从添加辅助线证明一次全等得角相等，到添加辅助线证明二次全等线段等，我们感觉到了问题层次的递进。特别是例1(1)中如果B、C、D共线的时候我们可以得到等边对等角的结论。为例2使用做铺垫。练习：2(1)已知：如图AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C．分析：根据已知条件AB=CD，AD=BC，连结公共边BD(AC)，可以发现三角形ABD全等于三角形CBD(可以发现三角形ABC全等于三角形ADC)，在这里我们发现添加辅助线的方法非常类似。证明：连结AC(BD)，证明△ABC≌△ADC(△ABD≌△CDB)。(2)己知：如图，∠B=∠C，求证：AB=AC分析：可以不添加辅助线把三角形ABC和ACB看成不同的三角形，证明全等。但是作AD垂直BC与点D，可以发现三角形ABD全等于三角形ACD，证明显的更加自然。证明：方法1：易证△ABC≌△ACB，进而AB=AC。方法2：作AD⊥BC垂足为点D，证明△ABD≌△ACD，进而证明AB=AC小结：上述例题和练习体现了“见山开道，遇水搭桥”的辅助线添加方法，分析题目的条件和结论，发现只需要添加公共边就可以达到构造全等三角形，进而证明线段(角)相等的结沦。2．通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。2．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求证：AC=BF。分析：欲证AC=BF，只须证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形图形，而根据题目条件的去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在三角形BFH中法一：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，证明△ADC和△HDB全等，得AC=BH。通过证明∠H=∠BFH，得到BF=BH。证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH∵D为BC中点∴BD=DC在△ADC和△HDB中3∴△ADC≌△HDB(SAS)∴AC=BH,∠H=∠HAC∵EA=EF∴∠HAE=∠AFE又∵∠BFH=∠AFE∴BH=BF∴BF=AC法二：过B点作BH平行AC与AD的延长线相交于点H，证明△ADC和△HDB全等。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”得到可以两个全等三角形。而过一点作己知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。思路二、以三角形BFD为基础三角形。转移线段AC，使AC、BF在两个全等三角形中法三：延长FD至H，使得DH=FD，连结HC。证明△CDH和△BDF全等。证明：延长FD至H，使得DH=FD，连结HC。∵D为BC中点∴BD=CD在△BFD和△CHD中∴△BFD≌△CHD(SAS)∴∠H=∠BFH∵AE=FE∴∠HAC=∠AFE又∵∠AFE=∠BFH∴∠H=∠HAC∴CH=CA∴BF=AC法四：过C点作CH平行BF与AD的延长线相交于点H，证明△CDH和△BDF全等。小结：通过一题多种辅助线的添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等。4熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。拓展：如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF。求证：AE=EF。分析：调换己知和求证的顺序是几何中提出新问题的一种常规做法。我们调换了例2的部分已知条件和结论的顺序提出新的问题，在解决新的问题中又巩固了上述添加辅助线的基本作法。上述四种方法仍然可以适用。练习：(1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．求证：DE=DF．(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点．求证：BE=CF．5分析：练习(1)巩固例2中典型辅助线的作法，练习(2)巩固例2拓展的调换部分条件和结论提出问题的方法。证明：辅助线已作出，证明略3.通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段不等关系3、已知如图，AD为△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD．分析：用例2的辅助线的添加方法，识别基本图形，并利用它们去解决不等关系的问题。AB、AC、2AD不在同一个三角形中，如果能将AD倍长，转移AC就可在同一个三角形找出与AB、AC、2AD相关的线段，再利用三角形两边之和大于第三边可以很容易的解决。证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE．∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD。在△ADC和△EDB中，∵∴△ADC≌△EDB（SAS）。∴AC=BE。在△ABE中，AB+BE＞AE,∴AB+AC＞2AD。练习：(1)在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=6，AC=10，则AD的取值范围是________。分析：范围是2＜AD＜8。应用例3的结论解决问题，变换图形位置再识别基本图。6思考题：如图，点D、E三等分△ABC的BC边．求证：AB+AC＞AD+AE设计思路：关注倍长中线法的灵活应用。解题时要善于挖掘隐含条件；善于将未知的问题转化为已知的问题。具体到本题就是把三等分问题转化成中点点问题。分析：方法一：倍长AD和AE，易得ME=AB，CN=ADAE+ME＞AM，AC+CN＞ANAB+AE＞2AD，AD+AC＞2AE相加得证。方法二：倍长中线AG，易得CH=AB，HE=AD延长HE交AC于PAP+EP＞AE，CH+CP＞HP=HE+EP可得证。(2)(07北京中考)如图，已知△ABC。(1)请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；(2)请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE。证明：（１）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面积相等（２）证法一：如图2，分别过点D，B作CA，EA的平行线，两线交于F点，DF与AB交于G点。所以∠ACE=∠FDB，∠AEC=∠FBD。在△AEC和△FBD中，又CE=BD，可证△AEC≌△FBD。7所以AC=FD，AE=FB。在△AGD中，AG+DG＞AD，在△BFG中，BG+FG＞FB，所以AG+DG-AD＞O，BG+FG-FB＞O．所以AG+DG+BG+FG-AD-FB＞O．即AB+FD＞AD+FB．所以AB+AC＞AD+AE．证法二：如图3，分别过点A，E作CB，CA的平行线，两线交于F点，EF与AB交于G点，连结BF．则四边形FECA是平行四边形．所以FE=AC，AF=CE。因为BD=CE，所以BD=AF。所以四边形FBDA是平行四边形．所以FB=AD．在△AGE中，AG+EG＞AE，在△BFG中，BG+FG＞FB，可推得AG+EG+BG+FG＞AE+FB，所以AB+AC＞AD+AE。证法三；如图4，取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF．在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO。可证△ADO≌△FEO．所以AD=FE．因为BD=CE，DO=EO，所以BO=CO。同理可证△ABD≌△FCO，所以AB=FC。延长AE交CF于G点。在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，在△EFG中，EG+FG＞EF。可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF。8即AC+CF＞AE+EF。所以AB+AC＞AD+AE。