几何证明之线段相等--上海教育版

２２．４几何证明举例证明线段相等如图，点D、E分别在AB、AC上，AB=AC，DE∥BC求证：BD=CE21EBCAD证明：∵AB=AC∴∠B=∠C∵DE∥BC∴∠1=∠B∠2=∠C∴∠1=∠2∴AD=AE∵AB=AC∴AB－AD＝AC－AE即BD=CE（已知）,（等边对等角）.（已知）,（两直线平行，同位角相等）.（等量代换）.（等角对等边）.（已知）,（等式性质），EBCAD１．三角形中，可用等角对等边证明两条线段相等２．等量±等量和（差）相等（等式性质）21BCADE已知：点Ｄ、Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＥＣ，ＡＤ＝ＡＥ求证：ＡＢ＝ＡＣBCADE21BCADE∵∠ADＢ+∠1=180°，∠AEC+∠2=180°（平角的定义）,证明：∵ＡＤ＝ＡＥ（已知）,∴∠１＝∠２（等边对等角）.∴∠ADB＝∠AEＣ（等角的补角相等）.在△ADB和△AEC中,AD=AE（已知）,∠ADB＝=∠AEC（已证）,ＢＤ=ＥＣ（已知）,∴△ADB≌△AEC（S.A.S）.∴ＡＢ＝ＡＣ（全等三角形对应边相等）.利用全等三角形证明两条线段相等１．三角形中，等角对等边证明两条线段相等２．等量±等量和（差）相等（等式性质）３．利用全等三角形证明两条线段相等已知：如图，ＡＤ平分∠ＢＡＥ，∠ＣＡＥ＝∠Ｂ求证：ＣＡ＝ＣＤABCDE证明：∵ＡＤ平分∠ＢＡＥ（已知）,∴∠１＝∠２（角平分线定义）.21ABCDE又∵∠ＣＡＥ＝∠Ｂ（已知）∠１＝∠２（已证）,∵∠ＡＤＣ＝∠１＋∠Ｂ∠ＣＡＤ＝∠２＋∠ＣＡＥ（三角形的外角等于与之不相邻的两内角之和）,∴∠ＡＤＣ＝∠ＣＡＤ（等式性质）,∴ＡＤ＝ＡＣ（等角对等边）.已知：如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ、E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DC=BE，∠1=∠2求证：AB=AC21EBCAD证明：∵∠ADC+∠1=180°∠AEB+∠2=180°（平角的定义），又∵∠1=∠2（已知）,∴∠ADC=∠AEB（等角的补角相等）.在△ADC和△AEB中∠A=∠A（公共角）,∠ADC=∠AEB（已证）,DC=BE（已知）,∴△ADC≌△AEB(A.A.S).∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.如图，△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４５°Ｈ是高ＡＤ和高ＢＥ的交点求证：ＢＨ＝ＡＣHEDBCA已知：如图，∠ＢＡＣ的顶点在⊙Ｏ上，∠ＢＡＣ的平分线ＡＤ过圆心Ｏ求证：ＡＢ＝ＡＣOCABD１．三角形中，等角对等边证明两条线段相等２．等量±等量和（差）相等３．利用全等三角形证明两条线段相等４．利用同圆中等圆心角对等弦证明两条线段相等如图，Ｆ、Ｃ是线段ＢＥ上两点，ＢＦ＝ＣＥ，ＡＢ＝ＤＥ，∠Ｂ＝∠Ｅ，ＱＲ∥ＢＥ求证：△ＰＱＲ为等腰三角形PBEQRFCAD已知：在等腰直角三角形中，∠ＢＡＣ是直角，Ｄ是ＡＣ上一点，ＡＥ⊥ＢＤ，ＡＥ的延长线交ＢＣ于Ｆ，若∠ＡＤＢ＝∠ＦＤＣ求证：ＡＤ＝ＣＤFABCDEGFABCDE已知：在等腰直角三角形中，∠ＢＡＣ是直角，Ｄ是ＡＣ上一点，ＡＥ⊥ＢＤ，ＡＥ的延长线交ＢＣ于Ｆ，若∠ＡＤＢ＝∠ＦＤＣ求证：ＡＤ＝ＣＤGHFABCDE１．三角形中，等角对等边证明两条线段相等２．等量±等量和（差）相等３．利用全等三角形证明两条线段相等４．利用同圆中等圆心角对等弦证明两条线段相等1、A册/22.4（2）2、一课一练P77/1,78/5,P79/1,2,4;P80/5,P81/1,P82/5,6;P83/1;P84/4,63、同步P106-108/1,2;P110/4(6),P111/4(7),P112/4(11)(12),5(1)P113/5(2)(5),P114/5(9),P115/5(12),P115/6(1),P116/6(2)(3),P117/6(6)(7)(8)P118/7(3)(4),P119/7(7)(8)