巧用勾股定理解决折叠与展开问题

1专题：巧用勾股定理解决折叠与展开问题类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题解决折叠问题关键是抓住对称性．勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解.【例1】直角三角形纸片的两直角边AC＝8，BC＝6，现将△ABC如图折叠，折痕为DE，使点A与点B重合，则BE的长为．[来源:学科网]1．(2017·黔西南)如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是第1题图第2题图2．如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB＝--------．类型2利用勾股定理解决立体图形的展开问题立体图形中求表面距离最短时，需要将立体图形展开成平面图形，然后将条件集中于一个直角三角形，利用勾股定理求解．【例2】(教材P39T12变式与应用)如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)2【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A点的AA′剪开，得到如图所示的平面展开图，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB这条路线走．3．如图是一个高为10cm，底面圆的半径为4cm的圆柱体．在AA1上有一个蜘蛛Q，QA＝3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1＝2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是--------(结果用带π和根号的式子表示)第3题图第4题图4．如图，在一个长为2m，宽为1m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是-------(精确到0.01m)．5．如图，长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm.(1)点A1到点C2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？3专题练习1．(2017·广州)如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为()A．6[来源:学科网ZXXK][来源:Z§xx§k.Com]B．12C．18D．242．(2017·舟山)一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按下图步骤折叠纸片，则线段DG长为()A.2B．22C．1D．23．(2017·南宁)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝23，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为----．4．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．求D，E两点的坐标．45．(2017·鄂州)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．6．(2017·济宁)(教材P64“活动1”的变式)实验探究：(1)如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论；[来源:Z&xx&k.Com](2)将图1中的三角纸纸片BMN剪下，如图2.折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，并结合方案证明你的结论．图1图2专题：解决特殊平行四边形中折叠问题的4种方法►方法一用方程思想解决特殊平行四边形中的折叠问题1．如图1－ZT－1，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为()5图1－ZT－1A．4B．32C．4.5D．52．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图1－ZT－2所示的方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2.图1－ZT－23．如图1－ZT－3，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且点D落在对角线D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为()图1－ZT－3A.32B．3C．1D.434．如图1－ZT－4，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知折痕AE＝55cm，且EC∶FC＝BF∶AB＝3∶4.那么矩形ABCD的周长为________cm.图1－ZT－45．如图1－ZT－5，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)若CD＝8，CF＝4，求CEDE的值．图1－ZT－56►方法二用数形结合思想解决特殊平行四边形中的折叠问题6．如图1－ZT－6，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为()图1－ZT－6A.95B.125C.165D.1857．如图1－ZT－7，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为________．图1－ZT－78．如图1－ZT－8，在矩形ABCD中，AB＝6cm，E，F分别是边BC，AD上一点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C，D分别落在点C′，D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为________cm.图1－ZT－89．如图1－ZT－9，在矩形ABCO中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于点D，则点D的坐标为________．图1－ZT－910．如图1－ZT－10，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G，若CGGB＝1k，则ADAB＝________(用含k的代数式表示)．7图1－ZT－1011．如图1－ZT－11，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．图1－ZT－11►方法三用转化思想解决特殊平行四边形中的折叠问题12．如图1－ZT－12，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝12cm，EF＝16cm，则边AD的长是()A．12cmB．16cmC．20cmD．28cm13．如图1－ZT－13，已知正方形ABCD的对角线长为22，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为()图1－ZT－13A．82B．42C．8D．6814．如图1－ZT－14，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．图1－ZT－14►方法四用分类讨论思想解决特殊平行四边形中的折叠问题15．如图1－ZT－15，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长．图1－ZT