控制工程_3系统数学模型

主要内容：（1）数学模型概念；（2）简单机电元件及系统微分方程的列写；（3）传递函数的定义、性质、求法;（4）典型环节的传递函数及瞬态(动态)特性；（5）控制系统结构图的绘制方法与简化；（6）环节的串并联、带反馈环节的传递函数；（7）相似原理与相似系统系统数学模型基本要求：（1）了解数学模型基本概念；（2）掌握简单机、电元件及系统微分方程式的列写；（3）掌握传递函数的概念、定义、性质及求取；（4）掌握典型环节传递函数及其瞬态特性；（5）掌握串联、并联、反馈连接等效传递函数的求法；结构图等效变换原则，能用结构图简化方法求系统的传递函数；（6）理解控制系统开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数的意义。系统数学模型重点：（1）建立简单机、电元件及系统的微分方程式（2）传递函数概念、典型环节传递函数。（3）简单机、电系统传递函数求取方法。（4）结构图的绘制，结构图化简。难点：（1）列写微分方程式，综合运用机、电基础知识列写机械和电路方程。（2）绘制系统结构图并化简，得到系统传递函数。系统数学模型数学模型能够用来表达一个系统的动态性能、揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系的数学表达式系统数学模型系统数学模型线性系统的概念及其特性线性系统能用线性微分方程描述的系统线性系统的特性频率保持特性叠加性微积分性一、微分方程列写列写微分方程的目的：确定输出与输入或扰动之间的函数关系列写的一般步骤如下：1.分析系统和元件的工作原理，找出各物理量之间的关系，确定输出量及输入量。2.设中间变量，依据物理、化学等定律忽略次要因素列写微分方程式。3.消去中间变量并整理，降阶排列，输出方程左边，输入在方程右边，即得系统或元件的微分方程式或数学模型。系统数学模型例：列写图示RC无源网络的微分方程解：1.确定输入与输出输入为ui(t),输出为uo(t)2.选电流i(t)为中间变量列方程：3.消去中间变量并整理可得微分方程为：由此可知，RC无源网络的瞬态数学模型是一阶常系数线性微分方程ui(t)RCuo(t)dt)t(iC1)t(u)t(u)t(Ri)t(uooi)t(u)t(udt)t(duRCioo系统数学模型＋＋i(t)方法？列写下面RC滤波网络的微分方程微分方程的列写过程请看教材P27该网络微方程为：uiuoR1R2C1C2ioo22112o22211uudtdu)CRCR(dtudCRCR系统数学模型例：一弹簧-质量-阻尼机械系统受外力f(t)作用产生位移y(t)，试列写该系统微分方程解：对m受力分析依牛顿定律列方程：而f(Kt)=Ky(t)f(t)=B·dy(t)/dt代入方程可得：可见，该系统的瞬态数学模型是用二阶常系数微分方程来描述的mf(t)mf(t)KBy(t)fK(t)fB(t)22BKdt)t(ydmam)t(f)t(f)t(f)t(f)t(Kydt)t(dyBdt)t(ydm22系统数学模型二、系统传递函数定义：在初始条件为0时，线性系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为线性系统的传递函数。当初始条件为0时，对线性系统的微分方程的一般表达式进行拉氏变换可得：令则有即为系统传递函数用框图表示为:yadtdyadtydadtyda011n1n1nnnnxbdtdxbdtxdbdtxdbmmmmmm01111sYasasasannnn0111sXbsbsbsbmmmm0111sXsYsG011011asasabsbsbsGnnnnmmmmG(s)X(s)Y(s)系统数学模型系统数学模型传递函数的性质１.传递函数是描述线性系统或线性元件特性的一种数学模型，它和系统或元件的运动微分方程一一对应。２.传递函数反映系统本身的瞬态特性，它只与系统本身的结构和参数有关。３.传递函数不反映系统的物理结构。具有相同的传递函数，从信号传递关系来说，具有相同特性。４.传递函数只表明单输入、单输出信号传递关系。5.n≥m——物理可实现系统011011asasabsbsbsGnnnnmmmm三、系统的零极点系统传递函数G(s)是以复变量s为自变量的复变函数，可写成一般形式：zi——系统的零点；影响瞬态性能pj——系统的极点；特征根；决定稳定性K——系统增益(放大倍数)；稳态输出值系统零极点在复平面上的表示零点用“〇”表示，极点用“×”表示nmgpspspszszszsKsG2121系统数学模型njjmiigpszsKsG11一般形式标准形式njjmiisTsTKsG1111四、简单系统传递函数的求取1.质量、弹簧、阻尼器机械系统运动微分方程式为故传递函数为：2.求图示机械系统的传递函数。f(t)为输入，x(t)为输出（不计摩擦）。)t(f)t(Kydt)t(dyBdt)t(ydm22KBsms1)s(F)s(Y)s(G2系统数学模型解：设质量M的位移y(t)为中间变量，再对其作受力分析图aAf(t)依据A点力平衡及牛顿定律列写原始方程式：作拉氏变换：整理可求得Myk2)(1yxk)(yxB)(1yxk)(yxBykyxkyxByMyxkyxBtf211)()()()()()()()()()(11sYBsksXBsksF)()()()()()(2112sYksYBsksXBsksYMs))(()()()(122212BskkMskkBsMssFsXsG系统数学模型五、典型环节的传递函数1.比例环节2.一阶惯性环节3.积分环节4.微分环节5.二阶振荡环节6.延时环节系统数学模型传递函数环节特点1.比例环节系统输入输出的关系:y(t)=Kx(t)系统传递函数：G(s)=Y(s)/X(s)=Kty(t)x(t)KX(s)Y(s)系统数学模型2.(一阶)惯性环节具有一阶微分方程的环节即为惯性环节，其传递函数为：惯性环节一般包含由一个储能元件和一个耗能元件。惯性环节的特点是：当输入x(t)作阶跃变化时，输出y(t)不能立刻达到稳态值，瞬态输出以指数规律变化。输入为单位阶跃输入时，则输出的拉氏变换为：拉氏反变换：1TsKsXsYsGTteKty1系统数学模型TsKsKTssTKTssKsXsGsY111当K＝1时，y(t)变化曲线如图所示:y0.983１0.950.630.850T2T3T4Tt由图可以看出，只有当t=3T～4T时，输出量接近稳态值。时间常数Ｔ是惯性环节的重要参数。系统数学模型3.积分环节积分环节的微分方程式为积分环节的传递函数：当输入为单位阶跃信号时，输出为:输出y(t)随时间呈直线增长，如图所示：输出可看为：输入对时间的积分直线的增长速度由时间常数Ｔ来决定，Ｔ越小，上升越快。当输入信号突然除去时，积分停止，输出保持不变。在控制系统中，积分环节常被用来改善系统的稳定性。dttxKtyTssKsXsYsG1TtdtTdttxTtytt0011y1Tx系统数学模型4.微分环节微分环节的特点是在瞬态过程中输出量为输入量的微分，其微分方程式为：传递函数：图示RC串联电路，电路的微分方程式为：设初条件为零时，进行拉氏变换，然后消去拉氏变换后的中间变量，即可直接求出传递函数：称为实用微分环节当TC=RC1时，传递函数为──称为理想微分环节。dttdxTtycsTsXsYsGciRidtCur1cuiRsTsTsUsUsGccrc1sTsUsUsGcrc系统数学模型理想微分环节的单位阶跃响应为脉冲函数，实际中是不能实现的实用微分环节单位阶跃输入时，输出的拉氏变换为:实用微分环节的单位阶跃响应为:瞬态曲线如图所示:在自动控制系统中微分环节常用来改善系统的瞬态性能，减小振荡，增加系统的稳定性。cccTssTTsXsGsY111)()()(cTtesYLty)(系统数学模型1tx(t)y(t)22221nnnSSsGK，则设5.二阶振荡环节振荡环节的特点，它包含两个独立储能元件并且能量可以相互转换。振荡环节微分方程式为：传递函数：令──无阻尼振荡角频率──阻尼比tKxtydttdyTdttydTBA22222222211AABABATsTTsTKsTsTKsGnAT1ABTT21系统数学模型当0≤时在单位阶跃输入作用下，输出的瞬态曲线及方框图如图所示。详细的分析，见典型二阶系统分析。2222nnnss＜１系统数学模型6.延时环节延时环节是输出滞后输入时间τ但不失真地反映输入的环节。具有延时环节的系统称为延时系统。延时环节的输入x(t)与输出y(t)之间关系为：y(t)=x(t-τ)，式中τ为延时时间。延时环节也是线性环节，符合叠加原理。其传递函数：延时环节与惯性环节不同–惯性环节的输出需要延迟一段时间才能接近于所要求的输出量，但它从输入一开始就有输出；–而延时环节在输入开始之初的时间τ内没有输出，在τ之后输出就完全等于输入，且不再有其他滞后过程。sesXesXsXsYsG)()()()()(s系统数学模型6.延时环节1.比例环节2.一阶惯性环节3.积分环节4.微分环节5.二阶振荡环节传递函数环节特点KsG11TssG输出随输入成常数倍变化没有滞后包含一个储能元件和耗能元件输入为阶跃时输出按指数规律增加有滞后时间常数越小变化越快ssG1输入为阶跃时输出呈直线增长当输入突然消失后输出保持不变1TssG输入为阶跃时输出按指数规律减小有滞后时间常数越小变化越快2221sssG当01输入为阶跃时输出为衰减振荡有滞后sesG输出滞后输入时间τ但不失真地反映输入典型环节回顾典型环节需要强调的：传递函数框图中的环节是根据运动微分方程划分的，一个环节并不一定代表一个物理的元件（或物理环节或物理系统），一个物理元件也不一定就是一个传递函数环节。从根本上讲，这取决于组成系统的各物理环节的元件之间有无负载效应。不要把表示系统结构情况的物理框图与分析系统的传递函数的框图混淆起来。如果简单的把系统结构框图中的各环节的传递函数连接起来，就会造成不计负载效应的错误。系统数学模型作业：P71–2.2(b)–2.3(b)–2.6(1)(4)–2.7六、系统结构图方框图的结构要素：函数方框相加点分支点系统结构图绘制步骤：–1)列写每个环节的运动微分方程式。–2)由微分方程式求出相应的传递函数。–3)依据传递函数画出相应的方框图。–4)按信号的传递关系将方框图适当地联接起来，便构成系统结构图。系统数学模型七、结构图的等效变换等效变换原则:变换前后输入、输出信号关系保持不变典型连接的等效变换–串联连接及其等效niinsGsGsGsGsG121系统数学模型)(1sG)s(G2X(s)X1(s)Y(s))s(G)s(G21Y(s)X(s)sGsGsXsYsXsXsXsYsG2111–并联连接及其等效：各环节的输入相同，输出为各环节输出的代数和，这种连接方式称为环节的并联。n1iin21)s(G)s(G)s(G)s(G)s(X)s(Y)s(G系统数学模型G1(s)G2(s)X(s)