控制工程基础-5

5.控制系统的频域分析控制系统的频域分析法是以传递函数为基础的一种分析系统性能的图解方法。分析的基点是：给予线性定常系统不同频率下的三角函数输入，系统的稳态响应输出是相同频率的三角函数，仅是幅值和初相位不同。5.控制系统的频域分析5.1基本概念频域分析法是自动控制理论的重要方法，主要特点是：(1)基于频率特性函数的系统建模和性能分析的物理意义明确；(2)利用开环频率特性的图形分析方法，形象、直观，计算量少；(3)适用于纯滞后系统和非线性系统的性能分析。频率响应：系统对谐波输入信号（即正弦输入信号）的稳态响应，也称为谐波响应，或三角函数响应。5.控制系统的频域分析)())(()()()()(21npspspssBssusy不失一般性，线性系统的频率响应可计算如下：系统传递函数系统输入22)(sin)(sAsutAtu系统输出niiiniipscjscjscsApssBsussy1221)()()()()(ipsiijsjspssuscjAjjssuscjAjjssusc))(()(,2)()()()(,2)()()()((pi是系统极点)tjtjtnitjpitjtjeccetyececcesyi)()(1可见：在输入为正弦信号时，线性系统的稳态输出也为正弦信号，只是输出的幅值是输入幅值的|Φ(jω)|倍，输出的初相位φ(ω)是输出相位(ωt+φ)与输入相位(ωt)之差。于是，定义：5.控制系统的频域分析)()(,)()(,)()()()(jejjejjjj))(sin()(2)(2)(2)()()())(())(()()(tAjjeeAjejAejejAejeccetytjtjtjjtjjtjtj频率特性函数：系统在正弦信号输入下，其稳态输出与输入之比的关于频率的复变函数，即)()(tan)()()()()()()()()()(122)(RIIRjIRjejjjujyj5.控制系统的频域分析实际上，频率特性函数是系统传递函数的一种特殊形式，仍然是反映系统输入/输出之间关系的数学模型。频率特性函数是关于频率的复变函数，可以有三种表示方式：)()()(IRjj代数形式指数形式三角形式)()()(jejj)](sin)([cos)()(jjj实频特性函数：系统频率特性函数的实部ΦR(ω)虚频特性函数：系统频率特性函数的虚部ΦI(ω)5.控制系统的频域分析)()(tan)()()(100RItutyj幅频特性函数：系统频率特性的幅值函数，即)()()()()(22IRtutyj相频特性函数：系统频率特性的相位函数，即系统幅频特性函数的物理意义是：系统在正弦函数输入下，稳态输出的幅值与输入幅值之比的关于频率的正实函数系统的相频特性函数的物理意义是：系统在正弦函数输入下，稳态输出的相位与输入相位之差的关于频率的实函数应当指出：频率特性函数不仅定义在正弦函数输入下，实际是定义在三角函数或谐波函数输入下。5.控制系统的频域分析例题5.1：单位反馈系统的开环传递函数为19)(ssG计算输入信号为:(1)u(t)=sin(t+300)，(2)u(t)=2cos(2t-450)，(3)u(t)=sin(t+300)-2cos(2t-450)时的稳态输出。反馈控制系统的闭环传递函数及其频率特性函数为)(10tan2210tan22|)(|109109109)(109)(1)()(11jjjejeejjssGsGs反馈控制系统幅频特性函数和相频特性函数为22109|)(||)(||)(|tutyj10tan)()()(100tuty5.控制系统的频域分析对于正弦、余弦函数输入u(t)，系统的稳态输出y(t)为9.010191109|)(||)(||)(|221tutyj101tan)()(|)(1001tuty))()(sin(|)(||)(|))(sin(|)(|)(00tuttujtyttyty))()(cos(|)(||)(|))(cos(|)(|)(00tuttujtyttyty因此，(1)u(t)=sin(t+300)时，即有ω=1，∠u(t0)=300，|u(t)|=1)1.0tan30sin(9.0))()(sin(|)(||)(|)(1001ttuttujty(2)u(t)=2cos(2t-450)时，即有ω=2，∠u(t0)=-450，|u(t)|=2)45102tan2cos(10429))()(cos(|)(||)(|)(0102ttuttujty(3)u(t)=sin(t+300)-2cos(2t-450)时，)()()(21tytyty5.控制系统的频域分析5.2系统频率特性函数的计算与表示系统频率特性函数是系统传递函数的一种特殊形式。求取系统频率特性函数主要是计算其幅频特性函数和相频特性函数：(1)令s=jω，由系统传递函数直接求取例题5.2：已知系统的传递函数为)4)(3()2)(1(20)(ssssssG，计算其频设s=jω，代入系统的传递函数中，有)4tan3tan902tan(tan22222224tan3tan0tan2tan1tan1101111111432120)4()3()()2()1(20)()(jjjjjjjseejejejejejjGsG率特性函数。4tan3tan902tantan)(110112222222432120)(jG幅频特性函数相频特性函数)16)(9()24()52(100)4)(3()4)(3()2)(1(20)4)(3()2)(1(20)()(22242222222jjjjjjjjjjjjGsGjs)16)(9()52(100)(22222RG)16)(9()24()(2224IG实频函数虚频函数5.控制系统的频域分析(2)由试验方法求取由于线性系统在正弦信号（谐波信号）输入下，稳态输出仍为正弦信号（谐波信号），且信号频率一致，只是信号幅值和相位有变化。因此，对于待求系统频率特性的装置，通过试验输入幅值、相位和频率已知的三角函数，测量其稳态输出（包括幅值、相位）；不断的改变输入信号的频率，就会测量得到不同频率下的稳态输出。ωω|G(jω)|φ(jω)5.控制系统的频域分析(3)频率特性函数的图形表示频域分析法实际上是基于频率特性图的一种图形分析法。系统频率特性图主要有：极坐标图和对数坐标图。极坐标图（Nyquist图）极坐标图是频率变化（ω=0→∞）时，频率特性函数的向量（或实部、虚部）在复平面上描绘的图形，即)()(tan)()()()()()()()(122)(RIIRjIRjejjjReIm)(jG)()(R)(Ij0因此，对于不同的频率ω，依据系统频率特性函数的幅值和相位（或实部和虚部）在复平面上逐点描绘就可绘出极坐标图。这项工作目前采用计算机辅助绘图方法很容易实现。极坐标图的规律是：5.控制系统的频域分析a)极坐标图的起点（ω=0）与系统传递函数中所含积分环节的个数有关没有积分环节时，其极坐标图的起点位于复平面上的实轴上；有v(≠0)个积分环节时，极坐标图的起点位于-900v方位的无穷远。b)极坐标图的终点（ω→∞）与系统传递函数的分子多项式阶数m和分母多项式阶数n的差(n-m)有关(n-m)0时，其极坐标图的终点以-(n-m)900的方位置于复平面上的原点；(n-m)=0时，极坐标图的终点位于复平面上的实轴上。c)在中频段的极坐标图与频率特性函数的参数有关这时与系统性能密切相关的部分，尤其是穿越实轴部分应该准确绘制。5.控制系统的频域分析例题5.3：绘制系统的极坐标图，已知系统的传递函数为)2)(1()(sssKsG])(1][)(1[)1()(])(1][)(1[)()()tan()tan(90)()(1)(1)(22212212221212102221TTTTKGTTTTKGTTTTKjGIR2121TTTKT)(21TTK0)0()()0(90)0()0(,0210IRGTTKGjG0)(0)(270)(0)(,0IRGGjG5.控制系统的频域分析例题5.4：绘制系统的极坐标图，已知系统的传递函数为2)1()(ssKsG222)2tantan(2244)2(41)(11KjKeKjGj022)0(0jKeKGj0)(0180jKKejGjK2/K5.控制系统的频域分析对数坐标图（Bode图）对数坐标图是以频率为横坐标轴，幅频函数、相频函数分别为纵座标轴的二个图形，且频率横坐标轴按自然对数分度，幅频函数的纵坐标轴按分贝数分度，相频函数的纵座标轴按角度或弧度分度。ω0102050100ω0.10.20.51.01001020502.05.0lgω横坐标的分度说明幅频特性的分贝表示)()(lg20)(dBjGL对数坐标图对数幅频特性图对数相频特性图)(lg)(fL)(lg)(gdecdec例题5.5：绘制系统的对数坐标图，已知系统的传递函数为5.控制系统的频域分析11)(TssG①计算系统的幅频特性函数和相频特性函数)(tan)(,)(11)()(1111)()(12tan21TTjGeTjTjGsGTjjs②计算对数幅频特性函数和对数相频特性函数)(tan)()(1lg10)(1lg201lg20)(lg20)(122/12TTTjGL5.控制系统的频域分析③绘制对数幅频特性图和对数相频特性图L(ω)φ(ω)ωω0Tω1时，0)(tan)(0)(,1)(11)(1121TLTjGTT1/T1/TTω=1时，0112145)(tan)(3)(,21)(11)(TdBLTjGTT0-450-900Tω1时，0112190)(tan)(lg201lg20)(,1)(11)(TTLTTjGTT-3转折频率转折频率5.控制系统的频域分析例题5.6：绘制系统的对数坐标图，已知系统的传递函数为)()1()1(10)()1()1(10)(21TTssssGTssssG①计算系统的幅频特性函数和相频特性函数)(tan0tan)(tan)(,)(1)(110)(1111221TTjG②计算对数幅频特性函数和对数相频特性函数)(1tan)()(ta