控制工程基础-7

7.离散控制系统7.离散控制系统7.1基本概念离散控制系统：具有离散信号的控制系统连续信号离散信号采样离散化数字编码脉冲信号数字信号ty(t)连续信号采样器y*(t)脉冲信号tT3TTy(kT)数字信号t3TT0q3q7.离散控制系统离散控制系统采样控制系统数字控制系统计算机控制系统计算机采样开关和A/DD/A和保持器被控对象反馈器件-r(t)e(t)e(kT)f(kT)y(t)b(t)计算机保持器被控对象反馈器件-r(t)e(t)e(kT)f(kT)y(t)b(t)ST控制器控制器7.离散控制系统把连续信号转变为离散信号的操作或过程，称为采样。采样过程：Tτ0ty(t)y*(t)y(t)y*(t)TT：采样周期τ：采样持续时间0tτTy*(t)0tT2T0y(t)tt0T-T-2T2T1δ(t-kT)y*(t)0tT2T+kkTttyty)()()(*0*)()()(kkTtkTytyy*(t)：离散信号7.离散控制系统采样的物理过程就是对连续信号每隔一定时间(采样周期T)取其信号值的过程。显然，采样周期T越小，离散信号y*(t)越接近于连续信号y(t)，即越能反映连续信号的变化；如果采样周期T过大，离散信号y*(t)就不能准确反映连续信号y(t)的变化，即由y*(t)不能复现连续信号y(t)。现在的问题：采样周期T究竟应该在什么范围内为好。)/1(2maxTfffss采样定理（香农定理）：采样频率fs至少应是被采样信号最高频率fmax的2倍，即7.离散控制系统保持器：将离散信号（数字信号）转换为连续信号的装置0ty*(t)0ty(t)保持器y*(t)y(t)数值保持显然，保持器是一种在时域内的数值外推装置。按常数、线性函数和抛物线函数关系外推的保持器，分别称为零阶、一阶、二阶保持器。零阶保持器（ZOH）：把kT时刻的数值不增不减地保持到下一个采样时刻(k+1)T。其数学表达式为sesGTtttgTshh1)()(1)(1)(7.离散控制系统离散控制系统的性能主要有：(1)稳定性；(2)响应特性(含控制精度)但是由于系统的信号类型不仅有连续信号，还有离散信号（数字信号），使得离散控制系统的分析与设计的方法或采用的数学工具与连续控制系统的不相同。主要的数学工具是“z变换”。离散控制系统的分析思路仍然是：首先，建立数学模型(脉冲传递函数)；其次，基于脉冲传递函数进行性能分析；再次，基于性能分析给出改善性能的控制器设计；最后，进行控制器的工程实现7.离散控制系统离散控制系统的性能主要有：(1)稳定性；(2)响应特性(含控制精度)但是由于系统的信号类型不仅有连续信号，还有离散信号（数字信号），使得离散控制系统的分析与设计的方法或采用的数学工具与连续控制系统的不相同。主要的数学工具是“z变换”。离散控制系统的分析思路仍然是：首先，建立数学模型(脉冲传递函数)；其次，基于脉冲传递函数进行性能分析；再次，基于性能分析给出改善性能的控制器设计；最后，进行控制器的工程实现7.离散控制系统离散控制系统（计算机控制系统）的主要特点：（1）计算机担任控制器的作用——数字控制器（2）系统中连续信号和离散信号（数字信号）并存由此引申出不少的控制优势：(1)控制的适应性强。通过编程可以完成复杂的控制任务(2)数据存储、计算、分析处理的能力强(3)易于实现集散控制和网络控制离散控制系统的知识是计算机控制技术的基础7.2z变换7.离散控制系统z变换是拉普拉氏变换的一种变形，它是分析离散系统的一种常用数学方法。（1）z变换1*)()()(kkTtkTyty对于离散信号：1*)()(kkTsekTysY拉普拉氏变换为：令Tsez（z变量是一个复变量）0*)())(()(kkzkTytyZzY离散信号y*(t)的z变换定义为：7.离散控制系统注意：习惯上也称Y(z)是连续信号y(t)或Y(s)的z变换，其含义是指对其采样后的离散信号的z变换（2）z变换的计算①按定义式计算0*)())(()(kkzkTytyZzY这实际上是级数计算方法。一般地，在一定条件下(即|z|R)这个级数是收敛的，可以写成级数和的形式（收敛半径R取决于y(kT)）。例7.1：计算连续函数e-at的z变换（a0）。解：连续函数e-at的采样值0*)()(kakTkTtety其z变换为......1)(10kakTaTkkakTzezezezy若|e-aTz-1|1，则aTaTkkakTezzzezezy1011)(7.离散控制系统)(......)(10101mnpsCasasabsbsbsYniiinnmm②按部分分式展开法计算这是针对连续函数y(t)的拉氏变换式Y(s)的z变换计算方法，其本质是对连续函数Y(t)在各采样时刻的离散序列y*(t)的z变换。如果其中：Ci是部分分式展开的系数，pi是Y(s)的极点。于是有：nitpiniiiieCpsCLsYLty1111)())(()(按1011)(zezeezaTkkakTat11011)())((zeCzeCsYzTpinikkkTpiniii7.离散控制系统例7.2：计算以下函数的z变换。解：部分分式展开有2)3(1)(sssy39/1)3(3/19/1)3(1)(22ssssssy13213311219/1)1()3/1(19/1)39/1)3(3/19/1())((zezeeTzzssszsYzTTT查z变换表，可得7.离散控制系统（3）z变换的性质Y(z)=z(y(t)),Y1(z)=z(y1(t)),Y2(z)=z(y2(t))，a、b为常数线性性质z[ay1(t)±by2(t)]=aY1(z)±bY2(z)滞后性质z[y(t-kT)]=z-kY(z)超前性质z[y(t+kT)]=zk(Y(z)-(y(0)+y(T)z-1+y(2T)z-2+…+y((k-1)T)z-(k-1)))终值性质y(nT)|n=∞=(z-1)Y(z)|z=1移位性质卷积性质)())((aTatzeYetyz)()()()())(()(21021zYzYzYthennTyTnkykTyifkn7.离散控制系统（4）z反变换)]([)(1*zYztY将Y(z)转换为离散信号y*(t)的操作或过程，称为z反变换，即例7.3：计算以下函数的z反变换（习题7-3(5)）。解：多项式长除法)2)(1(10)(zzzzY...150703010)2)(1(10)(4321zzzzzzzzY对照z变换表，z反变换为...)4(150)3(70)2(30)(10)(*TtTtTtTtty7.离散控制系统例7.4：计算以下函数的z反变换（习题7-3(2)）。解：部分分式展开))(()(bTaTezezzzY对照z变换表，z反变换为bTaTbkTakTeeeety)(*bTaTbTaTbTaTbTaTezeeezeeezezzzY11))((1)(7.离散控制系统7.3离散系统的数学模型7.3.1差分方程（1）差分的定义微分方程是连续系统的典型表示形式，对离散系统就是差分方程对于离散序列信号y(kT)，一般记作：y(k)。定义：一阶向前差分——⊿y(k)=y(k+1)-y(k)二阶向前差分——⊿2y(k)=⊿y(k+1)-⊿y(k)=y(k+2)-2y(k+1)+y(k)一阶向后差分——⊿y(k)=y(k)-y(k-1)二阶向后差分——⊿2y(k)=⊿y(k)-⊿y(k-1)-)=y(k)-2y(k-1)+y(k-2)高阶差分可依此类推。差分的本质是表示离散序列信号前后序列之差7.离散控制系统差分方程的一般形式是（y(·)、u(·)分别是离散系统的输出、输入）：（2）差分方程)()(...)1()()(...)1()(101mnmkubkubkubnkyakyakymn例7.5：下图为一离散控制系统，计算其差分方程seTs1sau(t)e(t)e*(t)eh(t)y(t)T零阶保持器按零阶保持器的作用，其输出应为))1(()()(TktkTkTeteh积分器按积分器的作用，在一个采样周期内的输出应为)()())1((kTaTekTyTky又有)()()(kTykTukTe所以)()()1())1((kTaTukTyaTTky一阶非奇次差分方程7.离散控制系统①迭代法：已知k=0下的y(-j)（j=0,1,…,n）和已知输入u(k)，以及采样周期T时。用迭代方法计算差分方程，有（3）差分方程的计算))2((...)2())2((...)1()2(2))1((...)0()1())1((...)0()1(101101mububnyayaykmubububnyayaykmnmn)(...)1()()(...)1()(101mkubkubkubnkyakyakymn(1)初始条件：已知k=0下的y(-j)和已知u(k)。(2)令k=0和计算长度nk=k+1计算y(k)kn?结束NoY注意：采样周期T取得不适当时，计算可能会出现系统不稳定的现象。7.离散控制系统例7.6：计算其差分方程，已知y(0)和输入u(k)。)()()1()1(kaTukyaTky解：1012)()1()0()1()(1)1()0()1()0()1()1(1)0()0()1()1(0niinniuaTaTyaTnynkaTuaTuaTyaTykaTuyaTyk零输入响应输入响应系统的稳定性由零输入响应决定可见：当|1-aT|1，则(1-aT)ny(0)项随n的增加而衰减，即0a2/T时离散系统是稳定的，否则，不稳定。而对于相近的连续系统，即)()()('tautayty只要a0，系统就是稳定的。TkykytyT)()1()(1'7.离散控制系统②z变化计算法：例7.7：计算差分方程的解，已知y(0)=y(1)=0和输入u(0)=0。)()1(2)(5)1(6)2(kukukykyky解:对差分方程的两边同时进行z变换)(5612)()()12()()56(22zuzzzzyzuzzyzzkkkkzzzzzZzzZzzzZ)1(45914)1(4)5(915941)1(41)5(49)5612(1111121由卷积公式ikikkiiuky)1(4591)()(10)()()()]()([)(21021zyzyzyiyikykyi7.离散控制系统7.3.2离散传递函数（脉冲传递函数）（1）离散系统的传递函数定义：在零初始条件下，系统输出信号的z变换y(z)与输入信号的z变换u(z)之比，即)()()(zuzyzG注意：这里对输出信号/输入信号的z变换实质是对其采样信号的z变换，采样开关存在与否并不影响这一含义。)()()(zuzGzy对于，若输入信号是单位脉冲信号，即u(z)=1。有0)()()(kkgzkTgzyzGyg(z)是系统单位脉冲响应信号采样值的z变换7.离散控制系统（2）脉冲传递函数的计算①若已知系统的传递函数G(s)或单位脉冲响应函数g(t)，则对G(s)进行z变换，或按下式计算G(z)0)()(kkzkTgzG②若已知