控制工程第4章_系统的瞬态响应与误差分析

000.20.40.60.811.21.41.61.82t(s)c(t)系统性能的时域分析引言本课程主要是研究控制系统的分析问题，即在系统和输入已知的情况下，通过求输出(响应)并根据输出来分析系统的性能（主要是动态性能）。对控制系统的基本要求是：稳、准、快。稳定性、准确性、快速性反映了系统的性能。理想的情况是输入的信号波形是什么样，系统的输出波形就应该是什么样，但实际的系统是很难满足这一要求的，存在着不稳、不准、不快等问题。系统分析的目的主要就是确定一个系统在这三方面的性能。2019年8月8日1时12分2引言系统的稳定性稳定性是指系统动态过程的振荡倾向及其恢复平衡状态的能力。系统在受到外界扰动作用时，其被控制量y(t)将偏离平衡位置，当这个扰动作用去除后，若系统在足够长的时间内能恢复到其原来的平衡状态，则该系统是稳定的。系统的准确性准确性是指系统的控制精度，一般用稳态误差来衡量，如用系统稳定后的实际输出与希望输出之间的差值或输入量与反馈量的差值或其它定义方法。系统的快速性快速性是指输出量和输入量产生偏差时，系统消除这种偏差的快慢程度。2019年8月8日1时12分3引言二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位阶跃响应曲线000.20.40.60.811.21.41.61.82t(s)c(t)二阶系统222()/(2)nnnGsss的单位阶跃响应曲线=0.4=1=2=0=0.7允差带理想输出2019年8月8日1时12分4引言对系统性能的分析可以采用不同的方法进行。本章到第6章的内容就是介绍这些不同的方法。本章是在时间域上分析系统的动态性能；第5章是在频率域上分析系统的动态性能；而第6章则是针对系统的稳定性进行分析。这三章内容是本课程的核心内容。前三章都是为这三章作准备的，而第七章则是这三章的应用。2019年8月8日1时12分5本章主要内容时间响应及时间响应的求法；常见系统对典型输入信号的时间响应；系统在时间域上的动态性能指标；系统响应的误差分析。2019年8月8日1时12分6本章作业P97～P98习题4-14-24-4本章作业第5周星期三交。今天交第3章作业。2019年8月8日1时12分91.时间响应的概念2.脉冲响应函数(或权函数)2019年8月8日1时12分104-1时间响应1.时间响应的概念系统在输入量激励下，其输出量随时间变化的函数关系称之为系统的时间响应。通过对时间响应的分析可揭示系统本身的动态特性。如二阶系统（震荡环节）在欠阻尼（ζ＜1)情况下的单位阶跃响应（输入为单位阶跃信号时的时间响应）为22211()1sin1arctan1ntnctet2019年8月8日1时12分114-1时间响应1.时间响应的概念利用时间响应对系统的动态特性（稳定性、准确性、快速性等）进行分析称为时域分析法。系统分析常用的典型输入信号（或函数）：简谐信号（即正弦或余弦信号）、脉冲信号、阶跃信号、斜坡信号、加速度信号（或称抛物线信号at2）等。其中，简谐信号用在频域分析中，其它信号（斜坡信号除外）则是在本章介绍的时域分析中使用。这些典型信号形式简单，在试验中也容易获得（往往是近似的），也能反映系统的实际工况。分析不同系统对同一典型输入信号的响应即可对不同系统的性能进行比较。2019年8月8日1时12分124-1时间响应线性定常系统时间响应的组成根据响应的性质和来源的不同，可将时间响应分解成如下形式：时间响应=稳态响应+瞬态响应(对稳定的系统而言)时间响应=零状态响应+零输入响应时间响应=强迫响应+自由响应时间响应=微分方程的特解+齐次方程的通解2019年8月8日1时12分134-1时间响应瞬态响应ctr(t)：对稳定的系统，瞬态响应是指时间响应中随着时间的增加而逐渐减小，最终趋于0的那部分响应。教材中的定义：系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。指的是稳定状态之前的整个时间响应过程。稳态响应css(t)：是指当时间趋于无穷大时系统的输出状态。时间响应c(t)：c(t)=ctr(t)+css(t)对不稳定的系统，分不出稳态响应和瞬态响应。因此，稳态响应和瞬态响应的概念对不稳定系统没有意义。2019年8月8日1时12分144-1时间响应221()1sin(arctan)(0)(1)1ntdeyttt稳态响应瞬态响应21dn二阶系统222()/(2)nnnHsss的单位阶跃响应曲线1y(t)0nt=0.4稳态响应2019年8月8日1时12分154-1时间响应对稳定的线性定常系统来说，瞬态响应随时间的增加而逐渐减小，所以也有人称其为暂态响应或过渡响应。瞬态响应除了与输入信号有关外，还与系统初始状态有关。系统初始状态不同，瞬态响应也不同。瞬态响应对控制系统往往是有害的，可能造成系统不稳定，并带来控制误差。所以要尽量减小和缩短瞬态响应过程。瞬态响应反映了系统的相对稳定性和响应的快速性。对稳定的线性定常系统来说，稳态响应只是由输入信号引起，而与系统初始状态无关。因为初始状态由于能量有限，所以它引起的响应总要衰减到0，因此，初始状态引起的响应属于瞬态响应（但不等于瞬态响应，因为输入量也能引起瞬态响应）。稳态响应反映了系统响应的准确性。2019年8月8日1时12分164-1时间响应求系统时间响应的方法：求解微分方程：直接求解或利用拉氏变换求解，可得到系统全响应；利用传递函数求解：只能得到系统的0初始条件下的响应（对线性因果系统而言即是零状态响应）；因为传递函数是在初始条件为0的情况下得到的。本章主要利用此方法，过程如下：()()()YsGsXs()()()YsGsXs11()[()][()()]ytLYsLGsXsy(t)X(s)输入输出系统对任意输入的响应系统G(s)x(t)Y(s)零状态响应2019年8月8日1时12分171.一阶系统的数学模型2.一阶系统（惯性环节）的单位阶跃响应3.一阶系统（惯性环节）的单位脉冲响应4.一阶系统（惯性环节）的单位斜坡响应2019年8月8日1时12分184-2一阶系统的时间响应1.一阶系统的数学模型用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其微分方程的一般形式为1010d()d()()()ddctrtaactbbrtttc(t)—输出；r(t)—输入。100d()()()dctaactbrtt常见形式d()()()dctTctKrtt化成通用形式式中，称为静态增益；，叫时间常数；00bKa10aTa2019年8月8日1时12分194-2一阶系统的时间响应令L[c(t)]=C(s)，L[r(t)]=R(s)。在初始条件为0的情况下对上式等号两边同时作拉氏变换得到由此得到常见形式一阶线性定常系统传递函数的一般形式如下(1)()()TsCsKRs()()()1CsKGsRsTs11Ts典型一阶系统1/(Ts+1)（归一化K=1）的方块图(a)E(s)R(s)C(s)R(s)C(s)＋－(b)1Ts比例环节与惯性环节串联2019年8月8日1时12分204-2一阶系统的时间响应d()()()dxtBkxtftt例11()1()()11XsKkGsBFsBskTsskK=1/k，T=B/k。oi()1/11()1/11UsCsUsRCsRCsTs1TRCK，例2RCuo(t)ui(t)惯性环节f(t)—力x(t)—位移kB比例-惯性环节2019年8月8日1时12分214-2一阶系统的时间响应2.一阶系统（惯性环节）的单位阶跃响应单位阶跃响应：输入为单位阶跃信号时系统的零状态响应。单位阶跃信号的拉氏变换为1()1GsTs1()[1()]RsLts1tr(t)0单位阶跃信号10()1()00trttt＞＜2019年8月8日1时12分224-2一阶系统的时间响应单位阶跃响应的拉氏变换为2019年8月8日1时12分2311111()()()111TCsGsRsTsssTsssT()1()1(0)ttTTctteet≥稳态响应瞬态响应当T=0时，时域响应(零状态响应)为c(t)=1(t≥0)系统变为零阶系统(比例环节)，零阶系统为理想系统。对上式进行拉氏反变换得时间响应(零状态响应)4-2一阶系统的时间响应一阶系统1/(Ts+1)的单位阶跃响应曲线2019年8月8日1时12分24UnitStepResponseforH(s)=1/(Ts+1)t(s)c(t)02468101200.20.40.60.81T=0T=0.1T=0.5T=1T=24-2一阶系统的时间响应一阶系统1/(Ts+1)的单位阶跃响应曲线2019年8月8日1时12分25结论：这种一阶系统（惯性环节）的时间常数T越小，响应越快（惯性越小），动态特性越好，所以T称为一阶系统的特征参数。5T4T3T2TT0c(t)t63.2%95.03%98.2%99.3%误差带2%1()1/(1)GsTs一阶系统的单位阶跃响应曲线86.5%1T斜率00d()1d1tTttctetTT4-2一阶系统的时间响应3.一阶系统(惯性环节)的单位脉冲响应2019年8月8日1时12分26单位脉冲响应：输入为单位脉冲信号时系统的零状态响应。单位脉冲信号的拉氏变换为1()1GsTs()()[()]1RssLt(1)tr(t)0单位脉冲信号111()()()()11CsGsRsGsTsTsT单位脉冲响应的拉氏变换为0()()00trttt=()1tdt0.5210g(t)一阶系统G(s)=1/(Ts+1)的单位脉冲响应曲线t4-2一阶系统的时间响应对上式进行拉氏反变换得时间响应(零状态响应)1()()(0)tTgtctetT≥稳态响应=0瞬态响应从响应可知，T越小，响应越快（越快地趋近0），且在0时刻的响应越大。当T→0时，响应变成了单位脉冲信号。T＝0.5T＝1T＝2/001lim()limtTTTgteT/001()()1tTgtdtgtdtedtT2019年8月8日1时12分274-2一阶系统的时间响应3.一阶系统（惯性环节）的单位斜坡响应单位斜坡响应：输入为单位斜坡信号时系统的零状态响应。单位斜坡信号的拉氏变换为1()1GsTs21()[]RsLtstr(t)0单位斜坡信号2211111()()()11CsGsRsTTTsssssT单位斜坡响应的拉氏变换为2019年8月8日1时12分280()00ttrtt≥＜4-2一阶系统的时间响应对上式进行拉氏反变换得时间响应(零状态响应)稳态响应瞬态响应分析：由于稳态误差的存在，这种一阶系统对斜坡信号的响应总是落后于输入，也就是说系统响应的误差总是存在的。当t较大时，瞬态误差近似为0，响应落后于输入的时间近似为T。可以这样理解，当瞬态误差很小时，一阶系统对斜坡信号的响应是T秒以前的输入量，即css(t)=r(t‒T)∙1(t‒T)=(t‒T)∙1(t‒T)。结论：上述分析表明，T越小，这种一阶系统对单位斜坡信号响应的稳态误差越小，响应越快。1/()()(0)tTctLCstTTet≥稳态误差=T2019年8月8日1时12分294-2一阶系统的时间响应012345678910012345678910Unit-RampResponset(s)c(t)一阶系统G(s)=1/(Ts+1)的单位斜坡响应TTT=2T=0T=1T=3稳态误差时间滞后2019年8月8日1时12分304-2一阶系统的时间响应例子：一气象气球携带一种时间常数为15s的一阶温度计，以5m/s的上升速度在大气层中上升。设大气温度按每升高30m下降0.15℃的规律而变化