直线与平面垂直的判定

复习回顾：空间直线和平面有几种位置关系？lllml//llAlAl大桥的桥柱与水面垂直生活中有很多直线与平面垂直的实例实例引入大漠孤烟直ABABABABABABABABCC1B1ABα内过点B的直线AB所在直线内不过点B的直线ααAB所在直线内任意一条直线αAB所在直线⊥⊥⊥一、直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.A平面的垂线直线的垂面垂足,.llmm任意LP直线和平面垂直的画法:通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。深入理解“线面垂直定义”判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直.（）2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直.（）bαa利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.探索新知：但是，直接考察直线与平面内所有直线都垂直是不可能的，这就有必要去寻找比定义法更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!,.llmm任意探索新知：做一做想一想ABCD1.折痕AD与桌面垂直吗？2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）ABCD当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．ABCDABCD2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？探索新知：探索新知：由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的判定需要哪几个条件？你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂直判定定理吗(1)平面有两条直线(2)这两条直线要相交(3)平面外的直线要与这两条直线都垂直二、直线与平面垂直的判定定理：mnmnpllmln线线垂直线面垂直lmnP一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。一相交两垂直判断下列命题是否正确？(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直()(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直()√√PlPl例1.在下图的长方体中，请列举与平面ABCD垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？B′A′C′D′BACD例2、在正方体AC1中，求证：(2)D1B⊥平面ACB1(1)AC⊥平面D1DBC1BD1ACA1DB1(1)ABCD是正方形,,ACBD1,DDAC平面1,ACDD1,DDDBD1.ACDDB平面GC1BD1ACA1DB1例2、在正方体AC1中，求证：(2)D1B⊥平面ACB1由异成直线所成的角知D1B⊥平面ACB1901所成角为与ACBD9011所成角为与ABBD11ABBDACBD1AABAC1OH例3、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。（1）求证：AC⊥平面VKB（2）求证：VB⊥ACABCVK(1)连接VK,KB，由VA=VC,K为AC中点，由三线合一可知VK⊥AC,同理可得KB⊥AC，且VK∩KB=K所以AC⊥平面VKB(判定定理)(2)由(1)可知，AC⊥平面VKB又因为VB平面VKB所以VB⊥AC(定义)变式：1、在例3中若E、F分别为AB、BC的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系．AVBCEFK例3、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。（1）求证：AC⊥平面VKB（2）求证：VB⊥AC2、在1的条件下，有人说“VB⊥AC，VB⊥EF，VB⊥平面ABC”，对吗？BCＰDAFE,,,(1):(2):(3):4:ABCDAPAABCDAAEPBEEEFPCFBCPABAEPBCAFPC已知矩形过作面再过作于过作于求证面求证面求证例如图,点Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是点P到平面的垂线段pQ过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影；这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。一.斜线在平面内的射影１.垂线、斜线、射影(１)垂线点P在平面内的射影线段PQ（2）斜线一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线．斜线和平面的交点叫做斜足。从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段PR如图：＿＿＿＿是斜线AC在内的射影，线段BC是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．(３)射影直线BC斜线段AC在内的射影ACBFE说明：②斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？思考：①从平面外一点向这个平面引的垂线段和斜线段，它们的射影和线段本身之间有什么关系？②从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE…中，那一条最短？ACBDE垂线段比任何一条斜线段都短ba如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。3.直线与平面垂直的性质定理例2、如图，已知AC、AB分别是平面α的垂线和斜线，C、B分别是垂足和斜足，a，a⊥BC。求证：a⊥ABAaCB线面垂直线线垂直三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.AaCB变:如图，已知AC、AB分别是平面α的垂线和斜线,C、B分别是垂足和斜足，a，。a⊥AB三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.求证:a⊥BC2、过点为连则则边点则0ΔABC所在平面α外一P,作PO⊥α,垂足O,接PA,PB,PC.1).若PA=PB=PC,O是ΔABC的_____心.2).若PA=PB=PC,∠C=90,O是AB的__.*3).若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,O是ΔABC的_____心.外中垂巩固练习：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形ABC的外心已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的垂心DOPADBCPPOPABCPOBCPA平面已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的内心OEF典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O(1)P到三顶点距离相等(3)P到三边AB、BC、AC距离相等(2)侧棱两两垂直外垂内O是ABC的心O是ABC的心O是ABC的心对棱两两垂直例：四面体P-ABC中，ACPBBC,PAABPC求证：若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直O是垂心垂O是ABC的心练习3.如果两直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行．练习2.过一点只有一个平面和一条直线垂直．练习1.过一点只有一条直线和一个平面垂直．结论1.结论2.结论3.常用结论发散结论1：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。结论2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。结论3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。直线和平面垂直的判定例求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。bmmbbamama//已知：，。ba//a求证：。b证明：方法1设是内的任意一条直线。m）（相垂直垂直，则这两条直线互另一条直线与这个平面）一条直线在平面内，（）（两条直线平行）垂直于同一个平面的（）（两个平面互相平行）垂直于同一条直线的（：判断下列命题是否正确练习：.3.2.1.1._____________,,,.2的位置关系是与，则且和平面已知直线bababaab√√√bb或,//小试牛刀线面垂直的性质定理：符号语言：图形语言：垂直于同一平面的两直线互相平行.//abab，abαabnm:m,n.证明在平面内作两条相交直线a,,.man因为直线根据直线与平面垂直的定义知a,.mbn又因为b//a所以b,,,mn又因为m,n是两条相交直线所以b例2.如图，已知a∥b、a⊥α.求证：b⊥α.（线面垂直线线垂直）（线线垂直线面垂直）例2、如图，已知a∥b，a⊥α。求证：b⊥α。例题示范,巩固新知分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可证b与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。ab阅读P66页的证明过程.√×１、判断下列命题的正误。（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（）（3）平行于同一平面的两条直线互相平行（）（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（）×（1）平行于同一直线的两条直线互相平行（）√五、过程设计(三)线面垂直性质定理的应用(1)若PA=PB=PC，则O是△ABC的.PABCO外心例4.关于三角形的四心问题设O为三棱锥P—ABC的顶点P在底面上的射影.综合练习：(2)若PA=PB=PC,∠C=900,则O是AB的_____点.中PABCO例4.关于三角形的四心问题综合练习：垂心EFPABCO(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是△ABC的.例4.关于三角形的四心问题综合练习：EFPABCO(5)若三条側棱与底面成相等的角，则O是△ABC的_____.外心例4.关于三角形的四心问题综合练习：例1、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，求证：PD⊥平面ABC.ABCPD证明：PA=PB，D为AB中点∴PD⊥AB，连接CD，∵D为Rt△ABC斜边的中点∴CD=AD,又PA＝PC,PD=PD∴△PAD≌△PCD而PD⊥AB∴PD⊥CD,CD∩AB=D∴PD⊥平面ABC例2、如图平面α、β相交于PQ，线段OA、OB分别垂直平面α、β，求证：PQ⊥ABPQOAB证明：∵OA⊥αPQα∴OA⊥PQOB⊥β,PQβ∴OB⊥PQ又OA∩OB=0∴PQ⊥平面OAB而AB平面OAB∴PQ⊥ABSABCSBSBSCSCSAHABCSHABC作业：如图是所在平面外一点，SA，，是的垂心，求证；平面SABCHSABCSBSBSCSCSAHABCSHABC作业：如图是所在平面外一点，SA，，是的垂心，求证；平面SASBSASCSASBCSBSCS平面SABCAHBCSAAHABCSHA面SABCHHABC是的垂心ABSHBCABB同理BCSHSHABC面1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC求证：AC⊥平面BDMMABCDOBDACBDACO证明：连接，，设，连接MOABCDACBDO四边形是菱形ACBDOAC是中点MOACACBDBDMOOMAMCAMC是等腰ACMBD面ABCD证明：E2.在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：对角线ACBD。CEAEEBD,,,连接的中点取ACBDACEAC,平面QACEBDECEAE,,平面又QBDCEDCBC,,QBDAEADAB,,QPABCO3.如图，圆O所在一平面为，AB是圆O的直径，C在圆周上,且PAAC,PAAB,求证：（1）PABC（2）BC平面PAC,,,解：（1）且又ABACABACAPAACPAABPAB