平面向量单元复习

川东大竹海中国竹世界课题：平面向量复习课学习导航:向量是近代数学重要工具,准确掌握向量的运算及其性质是利用向量为工具解决平面几何,三角,空间几何等其它分支学科的基础.故同学们应重视复习和巩固向量的知识,并强化建系处理问题或基底处理向量问题的意识.川东大竹海中国竹世界一.基本概念1.向量及向量的模、向量的表示方法1)图形表示2)字母表示3)坐标表示ABaAB有向线段AB:||||aAB向量的模(,)axiyjxy(,)(,)aOAxyAxy点(,)NMNMaMNxxyy川东大竹海中国竹世界一.基本概念2.零向量及其特殊性3.单位向量a0aa0)5(00)4(00)3(a//0)2(0)1(方向任意0)6(a0)7(00|a|a0aa共线的单位向量与非零向量川东大竹海中国竹世界一.基本概念4.平行向量5.相等向量6.相反向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.在保持长度和方向不变的前提下,向量可以平行移动.平移先后两向量相等任一组平行向量都可平移到同一直线上(共线向量)区分向量平行、共线与几何平行、共线长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.0)a(a,a)a(川东大竹海中国竹世界1.向量加法的三角形法则2.向量加法的平行四边形法则3.向量减法的三角形法则abABBCACABCDabABADAC中，abABADDB首尾相连首尾连首同尾连向被减共起点二.基本运算（向量途径）ABCabab+CABDbab+a川东大竹海中国竹世界4.实数与向量的积a是一个向量共线的向量是一个与aa二.基本运算（向量途径）川东大竹海中国竹世界5.两个非零向量的数量积ab与ab||||cosab向量数量积的几何意义||cosbba叫做向量在方向上的投影可正可负可为零||aba二.基本运算（向量途径）OABθB1ab[0,]向量夹角：首要的是通过向量平移,使两个向量共起点。川东大竹海中国竹世界①e·a=a·e=|a|cosθ②a⊥ba·b=0③a，b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b|a2=a·a=|a|2(a·a=)④cosθ=⑤|a·b|≤|a|·|b|||||baba2a平面向量的数量积a·b的性质:川东大竹海中国竹世界1122(,),(,),1)2)3)4)axybxyababaab若则)yy,xx(2121)yy,xx(2121)y,x(11二.基本运算（坐标途径）2121yyxx5)||6)cos||||aaaabab2121yx222221212121yxyxyyxx川东大竹海中国竹世界1.//abab向量和非零向量2.abab非零向量和则若),y,x(b),y,x(a22110yxyx12210yyxx2121三.两个等价条件ab有唯一的实数，使0ab川东大竹海中国竹世界四.一个基本定理平面向量基本定理.eeeea,,,a,ee2122112121基底平面内所有向量的一组叫做表示这一、把不共线的向量使有且只有一对实数任一向量那么对于这一平面内的向量共线的是同一平面内的两个不、如果利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组川东大竹海中国竹世界向量的有关概念例1给出下列命题：①若a·b=0，则a、b中至少有一个为0.②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的序号是________．五.应用举例②③川东大竹海中国竹世界例2化简（1）（AB+MB）+BO+OM（2）AB+DA+BD－BC－CA利用加法减法运算法则，借助结论AB=AP+PB；AB=OB－OA；AB+BC+CA=0进行变形.解：原式=AB+（BO+OM+MB）=AB+0=AB（1）（2）原式=AB+BD+DA－（BC+CA）=0－BA=AB五.应用举例向量加减法则川东大竹海中国竹世界五.应用举例例3.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD=3CN,,,,OAaOBbabMN设试用表示平面向量基本定理.ONOM、分析：先求川东大竹海中国竹世界例4、如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，求：（1）；（2）；||4AB||3AD60DABADBCABDABACD解：因为AD∥BC且方向相同，所以AD与BC夹角是0所以||||cos03319ADBCADBC所以ABDA与的夹角为12060因为AB与AD的夹角是，所以1||||cos12043()62ABDAABDA（1）（2）的值。试求的中点，，分别是、思考：若AFAEDCBCFE五.应用举例EF平面向量的数量积20川东大竹海中国竹世界例5设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共线则k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴五.应用举例向量共线定理川东大竹海中国竹世界例7.已知a=(1，-1)，求a共线的单位向量。例6.已知平行四边形ABCD的三顶点A(－1,－3)，B(3，1)，C(5，2)，求第四个顶点D和中心M的坐标D(1，－2)1(2,)2M)22,22(0a例8.已知向量a=(1，5)，b=(－3，2)，求a在b方向上的正射影的数量。713||cos,||13abaabb川东大竹海中国竹世界例9已知，，且与夹角为120°求⑴⑵；⑶与的夹角。4||a2||bab)()2(baba|2|baaba五.应用举例向量的长度与夹角问题川东大竹海中国竹世界（1）k=19（2）,反向31k五.应用举例平行与垂直问题例10川东大竹海中国竹世界练习:1、若a=(1,2)，b=(-2,λ),且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是的坐标。，求点且上，在直线点），（已知点CABCAABCBA3),5,4(,11.2）或（17,14-)19,16(4-1且川东大竹海中国竹世界特别注意：00cos0为锐角或ba为钝角或0cos0ba由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应排除夹角为0或的情况，也就是要进一步说明两向量不共线。川东大竹海中国竹世界4、已知O，N，P在ABC所在平面内，且,0OAOBOCNANBNC，且PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是ABC的（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心,0OAOBOCOABCNANBNCOABC由知为的外心；由知，为的重心;00,,,PAPBPBPCPAPCPBCAPBCAPBAPBCP，，同理，为ABC的垂心，思考：C川东大竹海中国竹世界向量垂直的判定01baba）（022121yyxxba）（向量平行的判定(共线向量的判定)）（）（0//1aabba122111222//0baxyxyaxybxy（），其中（，），（，）||32211AByxByxA），则，（），，（）若（||a22xy221221）（）（yyxx2axy（）设（，），则向量的长度21||aaa（），2||aa向量的夹角cos||||abab考点提示222221212121yxyxyyxx