数值分析考试卷及详细答案解答汇总

1姓名班级学号一、选择题1.2534F,,,表示多少个机器数(C).A64B129C257D2562.以下误差公式不正确的是(D)A．1212x*x*x*x*B．1212x*x*x*x*C．122112x*x*x*x*xx*D．1212x*/x*x*x*3.设621a,从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出a较好的近似值？(D)A6)12(1B27099C3)223(D3)223(14.一个30阶线性方程组,若用Crammer法则来求解,则有多少次乘法?(A)A31×29×30!B30×30×30!C31×30×31!D31×29×29!5.用一把有毫米的刻度的米尺来测量桌子的长度,读出的长度1235mm,桌子的精确长度记为（D）A1235mmB1235-0.5mmC1235+0.5mmD1235±0.5mm二、填空1.构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。2.十进制123.3转换成二进制为1111011.01001。3.二进制110010.1001转换成十进制为50.5625。4.二进制0101.转换成十进制为57。5.已知近似数x*有两位有效数字，则其相对误差限5%。6.ln2=0.69314718…，精确到310的近似值是0.693。7.31415926x.，则131416*x.，23141*x.的有效数位分别为5和3。8.设200108030x*.,y*.是由精确值xy和经四舍五入得到的近似值，则x*y*的误差限0.55×10-3。9．设23149541x.，取5位有效数字，则所得的近似值x*2.3150。10．设有多项式函数3221078pxxxx，给出计算px的计算量较小的一个算法((2x+10)x-7)x+8。三、计算1.指出下列经四舍五入得的有效数字位数，及其绝对误差限和相对误差限。2.0004－0.002002解：因为x1=2.0004＝0.20004×101，它的绝对误差限0.00005=0.5×101―5，即m=1，n=5，故x=2.0004有5位有效数字.a1=2，相对误差限025000.01021511arx2=－0.00200，绝对误差限0.000005，因为m=－2，n=3，x2=－0.00200有3位有效数字.a1=2，相对误差限r=3110221=0.00252.对准确值1000x和它的两个近似值为19999*x.和210001*x.分别计算它们的有效数位及绝对误差限，根据结果判断以下结论是否正确：对准确值x的两个近似值12x,x，则有效数位n大的则其绝对误差限就越小?解答：nmxxx1021)(*，n越大，通常绝对误差限越小，但绝对误差限也与m有关，因此上述结论并不总是正确。如准确值1000x，它的两个近似值为9.999*1x和1.1000*2x，*2*1,xx的绝对误差限均为1.0*2*1xxxx，但*1x有3位有效数字，而*2x则有4位有效数字。3.如要求10的近似值的相对误差小于01.%，则至少要取几位有效数字？解：%1.0)(10)(10)()()(10)()()(*10*9*10*1010rr从而410)(r，又nra111021)(，31a，即要求)(r411101021na，从而解出5n4.设0x，已知近似值x*的相对误差为a，估计lnx*的绝对误差。解：*******1(*)(ln*)(*)1(ln*)(*)lnlnlnlnlnrrxxxaxxxxxxxxx从而*(ln*)(ln*)lnrxxxa姓名班级学号一、选择题1.通过点),(00yx，),(11yx，),(22yx所作的插值多项式是(C)(A)二次的(B)一次的(C)不超过二次的(D)大于二次的3.通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足(C)，则P(x)是不超过一次多项式。(A)初始值y0=0(B)所有一阶差商为0(C)所有二阶差商为0(D)所有三阶差商为03.通过点),(00yx,),(11yx的Lagrange插值基函数01lx,lx满足（A，C）001111Alx,lx001110Blx,lx001010Clx,lx001100Dlx,lx4．已知n对观察数据12kkx,y,k,,,n。这n个点的拟合直线01yaax，则01a,a3是使（C）最小的解。(A)011nkkkyaax(B)011nkkkyaax(C)2011nkkkyaax(B)2011nkkkyaax5.设Px是在区间上的[a,b]上的yfx分段线性插值函数，以下条件中不是Px必须满足的条件是（C）（A）Px在[a,b]上连续，（B）kkPxy，（C）Px在[a,b]上可导，（D）Px在各子区间上是线性函数二、填空`1.设一阶差商31241)()(],[121221xxxfxfxxf,252416)()(],[232332xxxfxfxxf,则二阶差商],,[321xxxf11/62.设53)(2xxf，,1,0,kkhxk，则],,[21nnnxxxf3，和],,,[321nnnnxxxxf0。3.设)0()(3acbxaxxf,取5个不同节点作)(xf的拉格朗日插值多项式)(xP，则)(xP是__3___次多项式。那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是1。5.区间[a,b]上的三次样条插值函数Sx在[a,b]上具有直到___2_阶的连续导数。三、计算与证明1.已知函数y=f(x)的观察数据为xk－2045yk51－31试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn(x)，并计算f(－1)。解：先构造基函数))(())()(())(()(xxxxxxxl))()(())())((())()(()(xxxxxxxl))(())()(()()()(xxxxxxxl35)4()2()45)(05)(25()4()2()(3xxxxxxxl所求三次多项式为P3(x)=30)(kkkxly＝))((xxx＋))()((xxx－))(()(xxx＋)()(xxx＝xxxP3(－1)＝42.已知函数)(xfy的数据如下表。计算它的各阶差商和)(3xN的形式，解:先构造差商表如下：N3(x)=–56+40(x+2)–13(x+2)(x+1)+2(x+2)(x+1)x3.设],[)(2baCxf，试证：2''1max()[()()]()max()8axbaxbxbxafxfafbbafxabba证：由于)(xf的线性插值)()()()()()()(1xLbfabaxafbabxaxabafbfaf（直线的点斜式）于是)]()()()([)(maxaxabafbfafxfbxa))((!2)(max)()(max''1bxaxfxLxfbxabxa（ba）)(max))((max21''xfbxaxbxabxa)(max)(81''2xfabbxa4.要给出xycos等距节点函数表，如用线性插值计算y的近似值，使其截断误差限为51021，则函数表的步长应取多大？xkf(xk)-2-56-1-160-21-234-2-56-1-16400-214-131-20-7234312055．给定数据表试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.6．已知211fxlnx,x，求fx的二次最佳平方逼近，其中取权为1，并求平方误差。解：由于勒让得多项式在[-1，1]上正交，所以设01x，1xx，221312xx001122xaxaxax而00112222,2,,,,35012,1.29584,,0.352082,,0.0374965yyy得，0120.647918,0.528122,-0.0937412aaa所以20.6479180.528122-0.0468706(3-1)xxx其平方误差为211yxdx=0.0524489姓名班级学号一、选择题61.已知等距节点的插值型求积公式3520kkkfxdxAfx，那么30kkA（C）A．1B.2C.3D.42.已知求积公式2112112636fxdxfkff，则k＝（D）A．1/6B.1/3C.1/2D.2/33.在牛顿-柯特斯求积公式：0nbniiaifxdxbaCfx中，当系数niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（B）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用A.10nB.8nC.7nD.9n4.为使两点数值求积公式1011fxdxfxfx具有最高阶代数精度，则求积结点应为（D）A．任意01,xxB.011,1xxC.0113xxD.0111,33xx5.三点的高斯求积公式的代数精度为(B).A.2B.5C.3D.4二、填空1.已知n=3时，Cotes系数)()()(,,CCC，那么)(C＝1/82.已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(fff，则用抛物线（辛卜生）公式计算求得31fxdx2.367，用三点式求得)1(f1/4.3.求积公式baknkkxfAxxf)(d)(0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2n+1)次代数精度。4.数值微分中，已知等距节点的函数值001122,,,,,xyxyxy,则由三点的求导公式，1fx=0212yyh5.运用梯形公式和Simpson,计算积分，其结果分别为0.5和0.25三、解答与证明1.确定求积公式20210)2()1()0()(fAfAfAdxxf中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精度。解:令2,,1)(xxxf，假定求积公式均准确成立，从而有：202102AAAdx210221020AAAxdx222120202210038AAAdxx7解以上三元线性方程组从得：34,31120AAA，代回求积公式有20141()(0)(1)(2)333fxdxfff令3fxx代入公式，有：左边=4,右边=31410124333。令4fxx代入公式，有：左边=325，右边=4141200123333,则，左右不等，因此代数精度为32．如果用复化梯形公式计算定积分xxde，要求截断误差不超过0.5×10－4，试问n至少取多少？解：复化的梯形公式的截断误差为1)e(max)(max10102xxxxfM4222105.012112nMhabTIn，n=40.8，取n41。3．对于xxxfsin)(，根据下表