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一、选择题1.以(2,-1)为圆心,4为半径的圆的方程为()A.(x+2)2+(y-1)2=4B.(x+2)2+(y-1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=16D.(x-2)2+(y+1)2=16[答案]C2.一圆的标准方程为x2+(y+1)2=8,则此圆的圆心与半径分别为()A.(1,0),4B.(-1,0),22C.(0,1),4D.(0,-1),22[答案]D3.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的图形是()A.以(a,b)为圆心的圆B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)[答案]C4.圆C:(x-2)2+(y+3)2=4的面积等于()A.πB.2πC.4πD.8π[答案]C[解析]半径r=4=2,则面积S=πr2=4π.5.(2012~2013·安徽“江南十校”高三联考)若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为()A.2x+y-3=0B.x-2y+1=0C.x+2y-3=0D.2x-y-1=0[答案]D[解析]圆心C(3,0),kPC=-12,又点P是弦MN的中点,∴PC⊥MN,∴kMNkPC=-1,∴kMN=2,∴弦MN所在直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.6.已知A(-4,-5)、B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是()A.(x+1)2+(y-3)2=29B.(x-1)2+(y+3)2=29C.(x+1)2+(y-3)2=116D.(x-1)2+(y+3)2=116[答案]B[解析]圆心为AB的中点(1,-3),半径为|AB|2=126+42+-1+52=29,故选B.7.圆(x-1)2+y2=1的圆心到直线y=33x的距离是()A.12B.32C.1D.3[答案]A[解析]先求得圆心坐标(1,0),再依据点到直线的距离公式求得A答案.8.方程y=9-x2表示的曲线是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆[答案]D[解析]方程y=9-x2可化为x2+y2=9(y≥0),所以方程y=9-x2表示圆x2+y2=9位于x轴上方的部分,是半个圆.二、填空题9.圆(x-a)2+(y-b)2=r2过原点,则a、b、r满足的关系式为________.[答案]a2+b2=r2[解析]代入(0,0)得a2+b2=r2.10.圆C:(x+4)2+(y-3)2=9的圆心C到直线4x+3y-1=0的距离等于________.[答案]85[解析]C(-4,3),则d=|-16+9-1|42+32=85.11.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的标准方程是________.[答案](x-2)2+(y+1)2=1[解析]圆(x+2)2+(y-1)2=1的圆心为M(-2,1),半径r=1,则点M关于原点的对称点为C(2,-1),圆C的半径也为1,则圆C的标准方程是(x-2)2+(y+1)2=1.12.以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程为__________.[答案]x2+(y-4)2=20或(x-2)2+y2=20[解析]令x=0得y=4,令y=0得x=2,∴直线与两轴交点坐标为A(0,4)和B(2,0),以A为圆心过B的圆方程为x2+(y-4)2=20,以B为圆心过A的圆方程为(x-2)2+y2=20.三、解答题13.求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心C在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.[解析]AB的中垂线方程是x-y=0,解方程组x-y=0,x+y-2=0,得x=1,y=1,即圆心C(1,1),则半径r=|AC|=2,所以圆的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=4.14.圆过点A(1,-2),B(-1,4),求(1)周长最小的圆的方程;(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.[解析](1)当AB为直径时,过A、B的圆的半径最小,从而周长最小.即AB中点(0,1)为圆心,半径r=12|AB|=10.则圆的方程为:x2+(y-1)2=10.(2)解法1:AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方程是y-1=13x.即x-3y+3=0由x-3y+3=0,2x-y-4=0.得x=3,y=2.即圆心坐标是C(3,2).r=|AC|=3-12+2+22=25.∴圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.解法2:待定系数法设圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2.则1-a2+-2-b2=r2,-1-a2+4-b2=r2,2a-b-4=0.⇒a=3,b=2,r2=20.∴圆的方程为:(x-3)2+(y-2)2=20.[点评]∵圆心在直线2x-y-4=0上,故可设圆心坐标为C(x0,2x0-4),∵A,B在圆上,∴|CA|=|CB|可求x0,即可求得圆的方程,自己再用此思路解答一下.15.(2012~2013·台州高一检测)已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a0).(1)若点M(6,9)在圆上,求a的值;(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3),线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点,求a的取值范围.[解析](1)因为点M在圆上,所以(6-5)2+(9-6)2=a2,又由a0,可得a=10;(2)由两点间距离公式可得|PN|=3-52+3-62=13,|QN|=5-52+3-62=3,因为线段PQ与圆有且只有一个公共点,即P、Q两点一个在圆内、另一个在圆外,由于313,所以3a13.即a的取值范围是(3,13).16.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在的直线上.(1)求AD边所在直线的方程;(2)求矩形ABCD外接圆的方程.[解析](1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-3.又因为点T(-1,1)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.(2)由x-3y-6=0,3x+y+2=0,解得点A的坐标为(0,-2).因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0).所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.又|AM|=2-02+0+22=22,从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.
本文标题:高中数学必修二-圆的标准方程
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