平面与平面垂直的判定

（1）正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（重点）（3）体会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。（难点）2.3.2平面与平面垂直的判定水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的坡面与水平面要成一个适当的角度.半平面半平面半平面l从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记为：二面角简记：PQlPlQ二面角的定义思考1我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？2.二面角的取值范围080.，1二面角的平面角：以二面角的棱上为端点，在两个半平面α和β内分别作于棱l的两条射线OA和OB，则这两条射线OA和OB所成的角∠AOB叫作二面角的平面角，的二面角叫作直二面角．任一点垂直βlBAO平面角是直角2AOBOl的大小与点在上的位置有关系思考吗？为什么？βlABO平面角的大小与棱上点的选取无关.B1C1D1A1ABCDMN1CABC求二面角的平面角.45求二面角的平面角αP思考3教室的相邻两面墙与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及度数？αβaBbCEAD一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作平面与平面垂直的定义βααβ注意：把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.图形表示当我们把门打开时，门所在的平面与地面是什么位置关系？思考4如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号表示:aa面a线面垂直则面面垂直平面与平面垂直的判定定理如图所示：在Rt△ABC中，∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？PABCPAABCPABABCPAPAB面面面面PAABCPACABCPAPAC面面面面CBPABPBCPABCBPBC面面面面例1如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.分析：找出在一个面内与另一个面垂直的直线.BC⊥平面PAC证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，有PA⊥α，BC在α内，∴PA⊥BC，∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB为⊙O直径，∴∠BCA＝90°，即BC⊥CA又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAC，又因为BC在平面PBC内，∴平面PAC⊥平面PBC.[例1]如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.点E在侧棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PBD.[精解详析]∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC，又ABCD为正方形，AC⊥BD，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PBD.[例1]如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.点E在侧棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PBD.探究点一：平面与平面垂直的性质定理探要点、究所然例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，AC∩BD＝O，试判断平面BDE与平面AA1C1C的关系，并说明理由．探究点一：平面与平面垂直的性质定理探要点、究所然解平面AA1C1C⊥平面BDE.理由如下：∵AA1⊥平面ABCD，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABCD.又∵BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AA1C1C＝AC，AC⊥BD，∴BD⊥平面AA1C1C，∴平面BDE⊥平面AA1C1C.1．如图在四面体A－BCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面BCD.在△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a，∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，又BD∩CE＝E，∴AE⊥平面BCD.又AE平面ABD.∴平面ABD⊥平面BCD.证明：∵△ABD是等腰三角形，∴取BD的中点E，连接AE、CE，则AE⊥BD，在△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝22a，∴AE＝AB2－BE2＝22a.同理CE＝22a.2．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.2．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.证明：∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，又EF∥AC，∴EF⊥BG，EF⊥DG.∴EF⊥平面BGD.∵EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.3．三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面B1C1CB是菱形，B1C⊥A1B，求证：平面A1BC1⊥平面AB1C.3．三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面B1C1CB是菱形，B1C⊥A1B，求证：平面A1BC1⊥平面AB1C.证明：∵侧面B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B.A1B∩BC1＝B，∴B1C⊥平面A1BC1.又B1C平面AB1C，∴平面A1BC1⊥平面AB1C.[例2]如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：(1)平面AEF⊥平面PBC；(2)PB⊥EF.[思路点拨](1)用面面垂直的判定定理；(2)先证线面垂直，再证线线垂直．[精解详析](1)∵AB是⊙O的直径，C在圆上∴AC⊥BC，又PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.又AF平面PAC，∴BC⊥AF，又AF⊥PC，PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC.又AF平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC(2)由(1)知AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF，∴PB⊥EF.[一点通]解决直线、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化关系：即线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．4．四面体ABCD中，△BCD，△ABC是全等三角形，且AB＝AC，E为BC的中点．求证：平面ADE⊥平面ABC.证明：∵△BCD与△ABC全等，且AB＝AC，∴BD＝DC，又E为BC的中点．∴AE⊥BC，DE⊥BC.又AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE，又BC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADE.5．已知三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝BC，E、F分别在AC，AD上且AEAC＝AFAD＝λ(0λ1)．(1)求证：平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD.解：(1)证明：∵AEAC＝AFAD，∴EF∥CD.又∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∴EF⊥AB.∵BC⊥CD，∴EF⊥BC.又AB∩BC＝B，∴EF⊥平面ABC.又EF平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ＝12时，平面BEF⊥平面ACD，证明如下：由(1)知EF⊥平面ABC，BE平面ABC，∴EF⊥BE，∵当λ＝12时，E为AC的中点，又AB＝BC，∴BE⊥AC.又AC∩EF＝E.∴BE⊥平面ACD.又BE平面BEF.∴平面BEF⊥平面ACD.二、二面角的平面角一、二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角1.定义2.求二面角的平面角的方法①点P在棱上②点P在二面角内ABPγβαιαβιABαβιppαβιABO—定义法—垂面法找二面角的平面角说明该平面角是直角。（一般通过计算完成证明。）（1）定义法：（2）判定定理：要证两个平面垂直，另一个平面的一条垂线。只要在其中一个平面内找到（线面垂直面面垂直）3.两个平面垂直的判定定理的内容.面面垂直线面垂直线线垂直