常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差分布类型概率密度函数期望方差0-1分布B（1，p）ppq二项分布B（n，p）iniiniqpCiXPp(1),(1,2,...,)qpinnpnpq泊松分布P(λ)eiiXPpii!(0,1,2,3...)iλλ均匀分布U（,ab）等或21)(1)(rxfabxf2ab2()12ba正态分布N（2,）22()21()2xfxe(,0)x2指数分布E（λ）,0()0,0xexfxx1212分布，2()n12,,...N(0,1)nXXX相互独立，且标准都服从正态分布222212...nXXXn2nt分布，()tn(0,1)XN2()YxnXtYn0(2)2nnn概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算：()()()XFxPXx。2、随机变量函数的概率密度：X是服从某种分布的随机变量，求()YfX的概率密度：()()[()]'()YXfyfxhyhy。（参见P66～72）3、分布函数(,)(,)xyFxyfuvdudv具有以下基本性质：⑴、是变量x，y的非降函数；⑵、0(,)1Fxy，对于任意固定的x，y有：(,)(,)0FyFx；⑶、(,)Fxy关于x右连续，关于y右连续；⑷、对于任意的11221212(,),(,),,xyxyxxyy　　，有下述不等式成立：22122111(,)(,)(,)(,)0FxyFxyFxyFxy4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan)(arctan)23xyFxy的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)fxyFxyxyxy5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：()(,)()(,)XYfxfxydyfyfxydx边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]xXyYFxFxfuydyduFyFyfxvdxdv二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。6、随机变量的独立性：若(,)()()XYFxyFxFy则称随机变量X，Y相互独立。简称X与Y独立。7、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()ZXYYXfzfxfzxdxfyfzydy其中Z＝X＋Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即22221212(,ZaXbYNabab。9、期望的性质：……（3）、()()()EXYEXEY；（4）、若X，Y相互独立，则()()()EXYEXEY。10、方差：22()()(())DXEXEX。若X，Y不相关，则()()()DXYDXDY，否则()()()2(,)DXYDXDYCovXY，()()()2(,)DXYDXDYCovXY11、协方差：(,)[(())(())]CovXYEXEXYEY，若X，Y独立，则(,)0CovXY，此时称：X与Y不相关。12、相关系数：(,)(,)()()()()XYCovXYCovXYXYDXDY，1XY，当且仅当X与Y存在线性关系时1XY，且1,b0;1,b0XY　当当。13、k阶原点矩：()kkvEX，k阶中心矩：[(())]kkEXEX。14、切比雪夫不等式：22()()(),()1DXDXPXEXPXEX或。贝努利大数定律：0lim1nmPpn。15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因2111niiPXnn，所以011lim1niniPXn　。16、独立同分布序列的中心极限定理：(1)、当n充分大时，独立同分布的随机变量之和1nniiZX的分布近似于正态分布2(,)Nnn。(2)、对于12,,...nXXX的平均值11niiXXn，有11()()niinEXEXnn，2211()()niinDXDXnnn，即独立同分布的随机变量的均值当n充分大时，近似服从正态分布()Nn。(3)、由上可知：lim()()()()nnnPaZbbaPaZbba。17、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任意x,lim()nmnpPxxnpq，其中1qp。(1)、当n充分大时，m近似服从正态分布，()Nnpnpq。(2)、当n充分大时，mn近似服从正态分布，(,)pqNpn。18、参数的矩估计和似然估计：(参见P200)19、正态总体参数的区间估计：所估参数条件估计函数置信区间已知xun[,]xuxunn未知xtns[(1),(1)]ssxtnxtnnn未知22(1)ns22221(1)(1)[,](1)(1)nsnsnn122212未知121212222112212()()(1)(1)1wwxynntsnnnsnssnn其中121211()(2)wxytnnsnn21221,未知22112222sFs2222121212121[(1,1)(1,1)ssssFnnFnn，20、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见P243和P248。