哈工大断裂力学讲义ch1

1第一章线弹性断裂力学2线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。研究裂纹扩展有两种观点：一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所消耗的能量，如Griffith理论；一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin理论。3§1.1线弹性断裂力学的基本理论线弹性断裂力学的基本理论包括：Griffith理论，即能量释放率理论；Irwin理论，即应力强度因子理论。一、Griffith理论1913年，Inglis研究了无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题，得到了弹性力学精确分析解，称之为Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。4Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端。由Inglis解得到由于裂纹存在而释放的弹性应变能为2222211UaBEUaBE平面应变平面应力5另一方面，Griffith认为，裂纹扩展形成新的表面，需要吸收的能量为24SAaB其中：为单位面积上的表面能。可以得到如下表达式d()0dUSA临界状态d()0dUSA裂纹稳定d()0dUSA裂纹不稳定6对于平面应力问题，d2dABa，则2ddUaAEd2dSA根据临界条件，有22caE22caE或得临界应力为122()cEa表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳扩展时，拉应力的临界值，称为剩余强度。7临界裂纹长度22cEa对于平面应变有2222(1)2(1)ccEaEaGriffith判据如下：(1)当外加应力超过临界应力c(2)当裂纹尺寸a超过临界裂纹尺寸ca脆性物体断裂8二.Orowan与Irwin对griffith理论的解释与发展Orowan在1948年指出，金属材料在裂纹的扩展过程中，其尖端附近局部区域发生塑性变形。因此，裂纹扩展时，金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸收的表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变形能（也称为塑性功）。设金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为pU，则剩余强度和临界裂纹长度可表示为922()(1)2()PcPEUaEUa平面应变平面应力2222()(1)2()PcPEUaEU平面应变平面应力10Irwin在1948年引入记号G1()2GWUa外力功释放出的应变能能量释放率能量释放率也称为裂纹扩展能力G准则cGGcG临界值,由试验确定Irwin的理论适用于金属材料的准脆性破坏—破坏前裂纹尖端附近有相当范围的塑性变形.该理论的提出是线弹性断裂力学诞生的标志.11三.应力强度因子理论裂纹尖端存在奇异性,即:1(,)(0)iyrrr基于这种性质，1957年Irwin提出新的物理量—应力强度因子K,即：0lim2(,0)yyrKrr1960年Irwin用石墨做实验,测定开始裂纹扩展时的cKK断裂判据(K准则)cKK12§1.2裂纹的类型.裂纹尖端附近的应力场和位移值一.裂纹的类型1.按裂纹的几何类型分类穿透裂纹:裂纹沿构件整个厚度贯穿.表面裂纹:深度和长度皆处于构件表面的裂纹,可简化为半椭圆裂纹.深埋裂纹:完全处于构件内部的裂纹,片状圆形或片状椭圆裂纹.132.按裂纹的受力和断裂特征分类张开型(Ⅰ型):拉应力垂直于裂纹扩展面,裂纹上、下表面沿作用力的方向张开,裂纹沿着裂纹面向前扩展,是最常见的一种裂纹.滑开型(Ⅱ型):裂纹扩展受切应力控制,切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂纹线,裂纹沿裂纹面平行滑开扩展.14撕开型裂纹(Ⅲ型):在平行于裂纹面而与裂纹前沿线方向平行的剪应力作用下,裂纹沿裂纹面撕开扩展.二.裂纹尖端附近的应力场.位移场1.Ⅰ型裂纹问题的描述:无限大板,有一长为的穿透裂纹,在无限远处受双向拉应力的作用.确定裂纹尖端附近的应力场和位移场.2a15Irwin应用Westergaurd的方法进行分析.(1)Westergaurd应力函数弹性力学平面问题的求解，归结为要求求一个应力函数.该函数边界条件及双调和方程.这类问题的应力,应变和位移.1939年Westergaurd应力函数ReImZyZⅠⅠ16其中：为解析函数;为一次积分和二次积分.Z,ZZ首先证明:40满足双调和方程42222()()xyxy因为:222Re(Im)ZyZⅠⅠ解析函数的性质:(1)解析函数的导数和积分仍为解析函数(2)解析函数的实部和虚部均满足调和方程2Re0ZⅠ17222222(Im)(Im)(Im)yZyZyZxyⅠⅠ22Im(ImIm)ZyyyZZxyyy2222ImImImImZZyZyZxyyy2ImIm2ZyZy柯西黎曼条件ReImImZZZyxImReReZZZyx18有Im22ReZZy222(2Re)0ZⅠ即函数是平面问题的应力函数.则应力分量:2222(ReIm)xZyZyyⅠⅠReIm(Im)ZZZyyyyⅠⅠⅠ(ImImRe)ZZyZyⅠⅠⅠReReZZyyⅠⅠReImZyZⅠⅠ19即ReImxZyZⅠⅠReImyZyZⅠⅠ0z(平面应力)()2RezxyZⅠ(平面应变)RexyyZⅠ物理方程:yxxEEyxyEExyxyG(平面应力)2021[(1)(1)]xxyE21[(1)(1)]yyxExyxyG(平面应变)几何方程:xuxyuy21得1[(1)Re(1)Im]uZyZEⅠⅠ1[2Im(1)Re]vZyZEⅠⅠ平面应力1[(12)Re(1)Re]uZyZEⅠⅠ1[2(1)ImRe]vZyZEⅠⅠ平面应变22(2)求解双向拉伸Ⅰ型裂纹边界条件:0yxa0yxyz,0xyxy选取Ⅰ型裂纹的函数ZⅠ22zZzaⅠ23验证:0yzxa:,时22xZxaⅠRe0ZⅠ又0y0yxyb:22limlimzzzZzaⅠ23222limlim0()zzaZzaⅠ,0xyxy24采用新的坐标,zaire()()(2)afZaⅠ（+）()()2afa令00lim()lim()22KafZⅠⅠKaⅠ--应力强度因子25()(cossin)2222KKZirⅠⅠⅠ32133()(cossin)2222KZirⅠⅠ3ReImcos(1sinsin)2222xKZyZrⅠⅠⅠ3cos(1sinsin)2222yKrⅠ3cossincos2222xyKrⅠ0xzyz26()zxy平面应变0z平面应力3[(21)coscos]4222KrukGⅠ3[(21)sinsin]4222KrvkGⅠ0w平面应变()xywdzE平面应力3431k平面应变平面应力272.Ⅱ型裂纹3sin(2coscos)2222xKrⅡ3cossincos2222yKrⅡ3cos(1sinsin)2222xyKrⅡ0xzyz()zxy平面应变0z平面应力3[(23)sinsin]4222KrukGⅡ3[(22)coscos]4222KrvkGⅡ280w平面应变()xywdzE平面应力3.撕开型(Ⅲ型)问题描述:无限大板,中心裂纹(穿透),无限远处受与方向平行的作用.2az反平面(纵向剪切)问题,其位移(,),0wwxyuv根据几何方程和物理方程:1xzxzwrxG1yzyzwryG0xyxyz29单元体的平衡方程:200yzxzwxy位移函数满足laplace方程,所以为调和函数.解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.1(,)Im()wxyZzGⅢImImxzZwGZxxⅢⅢImReyzZwGZyyⅢⅢ边界条件:0,,0yzyxa,0,xzyzz30选取函数22()zZzzaⅢ满足边界条件取新坐标za()()(2)aZaⅢ令0lim2KZaⅢⅢ31§1.3应力强度因子与能量释放率的关系假设裂纹闭合3cos(sinsin)2222yKHrⅠ当,时0rx2yKxⅠ3[(21)sinsin]4222KrvkGⅠ当,时rax(22)42KaxvkGⅠ32在闭合时,应力在那段所做的功为a0ayBvdx200141(22)4242aayKKBaxkGvdxkdxKBaaGGxⅠⅠⅠⅠ平面应力23,1KkGEⅠⅠ平面应变22134kGKEⅠⅠ2KGEⅠⅠ21EEEE平面应力平面应变同理2KGEⅡⅡ21GKEⅢⅢ