数学期望

6213.数学期望【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第四章第§1数学期望【教材分析】：本节是讨论描述随机变量的数字特征，数学期望是随机变量的很重要的一类数字特征，它较集中的反应了随机变量变化的一些平均特征，容易求的，有良好的性质，因此它在概率论与数理统计中有很重要的地位。【学情分析】：1、知识经验分析上一章已经学习了随机变量的分布函数、概率密度、分布律，清楚地知道都能完整地描述随机变量。2、学习能力分析学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。【教学目标】：1、知识与技能目标使学生掌握数学期望的概念、性质及实际问题中相应的数学期望。2、过程与方法根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用探究式和启发式教学法，通过生活中常见的实际问题引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，期望的概念，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。3、情感态度与价值观学生通过期望的学习，可以更好的理解随机变量的取值特点。科学地分析、解释生活中的一些现象，养成严谨的科学态度。【教学重点、难点】：重点：数学期望的概念、数学期望的性质及应用。难点：数学期望的性质。【教学方法】：讲授法启发式教学法【教学课时】：1个课时【教学过程】：63一、问题引入例1分赌本问题(产生背景)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元。无平局，谁先赢3局，则获全部赌注。当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博。问如何分赌本?解：1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/32.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4若按已赌局数和再赌下去的“期望”分，则甲的所得X是一个可能取值为0或100的随机变量，其分布列为：甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75。例2射击问题设某射击手在同样的条件下，瞄准靶子相继射击90次，(命中的环数是一个随机变量)。射中次数记录如下试问：该射手每次射击平均命中靶多少环?解：平均射中环数射中靶的总环数射击次数02113215310420530905021315102030012345909090909090=3.37kknkn【设计意图】：问题生活化，此时就把学生对期望的认识定位在这个平均值上，使得这个陌生的概念与平均值联系起来，并揭示了期望的实际含义。二、离散型随机变量的数学期望定义1设离散随机变量X的分布律为,1,2,......iiPXxpi若级数1iiixp绝对收敛，则称该级数为X的数学期望，记为1()iiiEXxp。分赌本问题：A期望所得的赌金即为X的数学期望31()100075().44EX元射击问题：“平均射中环数”应为随机变量Y的数学期望0123452131510203021315909090102090903090命中环数k命中次数频率knknn64012345()012345.EYpppppp【设计意图】：()EX是一个实数，而非变量，它是一种加权平均，与一般的平均值不同，它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值，也称均值。例1设随机变量X的分布律为x-1012p0.20.10.40.3求()EX。解：=-10.2+00.1+10.4+20.3=0.8()EX例2如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元．若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资?解：设X为投资利润，则()80.320.71(),EX万元存入银行的利息：1050.5(),%万元故应选择投资。【设计意图】：通过这两个例子，数学期望简称为期望，数学期望又称为均值，数学期望是一种加权平均。三、连续型随机变量的数学期望定义2设连续随机变量X的密度函数为fx若积分-xfxdx绝对收敛，则称该积分为X的数学期望，记为-=EXxfxdx例3设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布，其概率密度为51e,0,()50,0.xxfxx试求顾客等待服务的平均时间?解：501()()ded5().5xEXxfxxxx分钟因此，顾客平均等待5分钟就可得到服务。【设计意图】：通过这个例子，使学生掌握连续型随机变量的期望的求法。四、思考与提问：XpXp8-20.30.765多维随机变量的期望如何求解？六、内容小结1、数学期望是一个实数，而非变量，它是一种加权平均，与一般的平均值不同，它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值。2、离散型随机变量的数学期望：1()iiiEXxp3、连续型随机变量的数学期望：-=EXxfxdx七、课外作业：P114：5，6，7八、板书设计数学期望66一、问题引入例1分赌本问题(产生背景)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元。无平局，谁先赢3局，则获全部赌注。当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博。问如何分赌本?例2射击问题设某射击手在同样的条件下，瞄准靶子相继射击90次，(命中的环数是一个随机变量)。射中次数记录如下试问：该射手每次射击平均命中靶多少环?二、离散型随机变量的数学期望定义1设离散随机变量X的分布律为,1,2,......iiPXxpi若级数1iiixp绝对收敛，则称该级数为X的数学期望，记为1()iiiEXxp。分赌本问题：A期望所得的赌金即为X的数学期望31()100075().44EX元射击问题：“平均射中环数”应为随机变量Y的数学期望012345()012345.EYpppppp例1设随机变量X的分布律为x-1012p0.20.10.40.3求()EX。例2如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元．若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资?三、连续型随机变量的数学期望定义2设连续随机变量X的密度函数为fx若积分-xfxdx绝对收敛，则称该积分为X的数学期望，记为-=EXxfxdx例3设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布，其概率密度为51e,0,()50,0.xxfxx试求顾客等待服务的平均时间?0123452131510203021315909090102090903090命中环数k命中次数频率knknn