数学易错、易混、易忘题分类汇编

1高中数学易错、易混、易忘题分类汇编【易错点42】向量与解析几何的交汇例42、（03年新课程高考）已知常数a0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.【易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。解析：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.∵i=（1，0），c=（0，a），∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）因此，直线OP和AP的方程分别为axy和axay2.消去参数λ，得点),(yxP的坐标满足方程222)(xaayy.整理得.1)2()2(81222aayx……①因为,0a所以得：（i）当22a时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当220a时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121(2aaE和)2,2121(2aaF为合乎题意的两个定点；（iii）当22a时，方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0(2aaE和))21(21,0(2aaF为合乎题意的两个定点.【知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。【练42】（1）（2005全国卷1）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OBOA与)1,3(a共线。（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且),(ROBOAOM，证明22为定值。答案：（1）63e（2）22=1（2）（02年新课程高考天津卷）已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使MP·MN，PM·PN,NM·NP成公差小于零的等差数列（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（,ooxy），记为PM与PN的夹角，求tan；答案：①点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆②tan=|y0|（3）（2001高考江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则2OBOA等于（）A.43B.－43C.3D.－3答案：B【易错点43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。例43、已知椭圆C：22142xy上动点P到定点,0Mm,其中02m的距离PM的最小值为1.（1）请确定M点的坐标（2）试问是否存在经过M点的直线l,使l与椭圆C的两个交点A、B满足条件OAOBAB（O为原点）,若存在,求出l的方程,若不存在请说是理由。【思维分析】此题解题关键是由条件OAOBAB知0OAOB从而将条件转化点的坐标运算再结合韦达定理解答。解析：设,pxy，由22142xy得22214xy故222214xPMxm2221212242xxmm由于02m且22x故当022m时，2PM的最小值为221m此时1m，当224m时，2x取得最小值为22421mm解得1,3m不合题意舍去。综上所知当1m是满足题意此时M的坐标为（1，0）。（2）由题意知条件OAOBAB等价于0OAOB，当l的斜率不存在时，l与C的交点为61,2，此时0OAOB，设l的方程为1ykx，代入椭圆方程整理得2222124240kxkxk，由于点M在椭圆内部故0恒成立，由0OAOB知12120xxyy即222122110kxxkxk，据韦达定理得2122412kxxk，21222412kxxk代入上式得2222221244120kkkkkk得24k不合题意。综上知这样的直线不存在。【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。【练43】已知椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，以右焦点2F为圆心，过另一焦点1F的圆被右准线截的两段弧长之比2:1,2,1P为此平面上一定点，且121PFPF.（1）求椭圆的方程（2）若直线310ykxk与椭圆交于如图两点A、B，令120fkABFFk。求函数fk的值域答案：（1）22142xy（2）0,8[易错点44]牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系.例44、函数1cosxyxe的导数为。[易错点分析]复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即xuxyyu。解析：1cos1cos1cos1cos1cos1cosxxxxxyexeexexe1cossinxxex1cos1sinxxxe【知识点归类点拨】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。[练习44]（2003年江苏，21）已知0a，n为正整数。设nyxa，证明1nynxa；（1）设nnnfxxxa，对任意na，证明111nnfnnfn解析：证明：（1）0,nnnkkknkxaCax1111111nnnknknkkkknnkkykCaxnCaxnxa（2）对函数nnnfxxxa求导数：11nnnfnxnxa，11.nnnfnnnna当0xa时，0nfxnnnaxxxan当时，f是关于x的增函数因此，当na时，11nnnnnnanna。11111111nnnnnnnfnnnnannnannnna1nnfn即对任意na，111nnfnnfn.【易错点45】求曲线的切线方程。例45、（2005高考福建卷）已知函数daxbxxxf23)(的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为076yx.（Ⅰ）求函数)(xfy的解析式；4【思维分析】利用导数的几何意义解答。解析：（Ⅰ）由)(xf的图象经过P（0，2），知d=2，所以,2)(23cxbxxxf.23)(2cbxxxf由在))1(,1(fM处的切线方程是076yx，知.6)1(,1)1(,07)1(6fff即.3,0,32.121,623cbcbcbcbcb解得即故所求的解析式是.233)(23xxxxf【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数y=f(x)在点0x处的导数，就是曲线y=(x)在点))(,(00xfxP处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点0x处的导数，即曲线y=f(x)在点))(,(00xfxP处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为))(('000xxxfyy特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00xfxP处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为0xx。利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.【练45】（1）（2005福建卷）已知函数bxaxxf26)(的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；答案：362)(2xxxf（2）（2005高考湖南卷）设0t，点P（t，0）是函数cbxxgaxxxf23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用t表示a，b，c；答案：.3tabc故2ta，tb，.3tc【易错点46】利用导数求解函数的单调区间及值域。例46、(2005全国卷III)已知函数2472xfxx，01x，（Ⅰ）求fx的单调区间和值域；（Ⅱ）设1a，函数223201gxxaxax，，，若对于任意101x，，总存在001x，使得01gxfx成立，求a的取值范围。【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解5不等式的运算能力第（Ⅱ）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数ygx在区间01，上的值域是函数fx的值域的子集，从而转化为求解函数ygx在区间01，上的值域。解析(Ⅰ)222224167(21)(27)()22xxxxfxxx，令()0fx解得12x或72x,在1(0,)2x，()0,fx所以()fx为单调递减函数；在1(,1)2x，()0,fx所以()fx为单调递增函数；又71(0),(1)3,()422fff，即()fx的值域为[-4，-3]，所以()fx的单调递减区间为1(0,)2，()fx的单调递增区间为1(,1)2，()fx的值域为[-4，-3].(单调区间为闭区间也可以).（Ⅱ）∵22()3()gxxa,又1a，当(0,1)x时，2()3(1)0gxa，因此，当(0,1)x时，()gx为减函数，从而当[0,1]x时，有()[(1),(0)]gxgg.又2(1)123,(0)2gaaga，即当[0,1]x时，有2()[123,2]gxaaa，任给1[0,1]x，有1()[4,3]fx，存在0[0,1]x使得01()()gxfx，则251,123433232aaaaaa或又1a，所以a的取值范围是213a。【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为2006年高考命题重点应引起高度注意．单调区间的求解过程，已知)(xfy（1）分析)(xfy的定义域；（2）求导数)(xfy（3）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数)(xf在),(ba单调递增，在),(cb单