尺规作图与命题证明

宇轩图书目录第19讲尺规作图与命题证明考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三考点知识精讲宇轩图书上一页下一页首页考点一几何作图1．尺规作图限定作图工具只有圆规和没有刻度的直尺2．基本作图(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差；(2)作一个角等于已知角，以及角的和、差；(3)作角的平分线；(4)作线段的垂直平分线．3．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；考点知识精讲宇轩图书上一页下一页首页(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．4．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型6．作图题的一般步骤(1)已知;(2)求作;(3)分析;(4)作法;(5)证明;(6)讨论．其中步骤(5)(6)常不作要求,步骤(3)一般不要求,但作图中一定要保留作图痕迹．考点知识精讲宇轩图书上一页下一页首页考点二定义、命题、定理、公理有关概念(1)定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密．(2)命题：判断一件事情的语句．①命题由题设和两部分组成．②命题的真假:正确的命题称为；的命题称为假命题.③互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．真命题错误结论考点知识精讲宇轩图书上一页下一页首页(3)定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理．(4)公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理．温馨提示：对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题.考点知识精讲宇轩图书上一页下一页首页考点三证明1．证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这一推理过程称为证明．2．证明的一般步骤：①审题，找出命题的和；②由题意画出图形，具有一般性；③用数学语言写出、；④分析证明的思路；⑤写出，每一步应有根据，要推理严密．证明过程题设结论已知求证中考典例精析宇轩图书上一页下一页首页(2011·杭州)四条线段a，b，c，d如图所示，a∶b∶c∶d＝1∶2∶3∶4.(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法)；(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．【点拨】(1)由题意知只能选取b,c,d为边画三角形.(2)4条线段任取三条共有4种结果,而能作出三角形的情况只有一种,故所求概率为P=14.中考典例精析宇轩图书上一页下一页首页【解答】(1)只能选b，c，d为边画三角形，如图所示．(2)任取三条线段共有a，b，c；a，b，d；a，c，d和b，c，d四种结果，其中只有以b，c，d为三边能作三角形，故所求概率P＝14.中考典例精析宇轩图书上一页下一页首页(1)（2011·广州）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中真命题是________．(填写所有真命题的序号)(2)（2011·黄冈）下列说法中：①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等；②数据5,2,7,1,2,4的中位数是3，众数是2；中考典例精析宇轩图书上一页下一页首页③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形；④Rt△ABC中，∠C＝90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7＝0的两个根，则AB边上的中线长为1235.正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个【点拨】(1)如果b⊥a，c⊥a，则b∥c，只有命题③是假命题．(2)“一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等或互补”，所以①错误；将数据5,2,7,1,2,4按由小到大的顺序排列为：1,2,2,4,5,7，中位数是：2＋42＝3，众数是：2，故②正确；等腰梯形是轴中考典例精析宇轩图书上一页下一页首页【解答】(1)①②④(2)C对称图形，但不是中心对称图形，故③错误；由题意得a＋b＝7，ab＝7，AB边上的中线长为：12AB＝12a2＋b2＝12a＋b2－2ab＝1272－7×2＝1235，故④正确，所以选C.中考典例精析宇轩图书上一页下一页首页如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD.(1)用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M(不写作法，保留作图痕迹)；(2)求证：BM＝EM.【点拨】(1)题属于过直线外一点作已知直线的垂线的基本作图；(2)题需证△BDE是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质证BM＝EM.【解答】(1)如图，则直线DM即为所求．中考典例精析宇轩图书上一页下一页首页(2)证明：∵△ABC为等边三角形，AD＝CD，∴∠DBC＝12∠ABC＝12×60°＝30°.又∠ACB＝60°，CE＝CD，∴∠E＝∠CDE＝12×60°＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴△DBE是等腰三角形．又DM⊥BE，∴BM＝EM.举一反三宇轩图书上一页下一页首页1．如图，已知△ABC，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧,两弧在直线BC上方交于点D,连接AD,CD.则有()A．∠ABC与∠BAD相等B．∠ADC与∠BAD互补C．∠ADC与∠ABC互补D．∠ADC与∠ABC互余答案：B举一反三宇轩图书上一页下一页首页2．下列说法正确的是()A．“作线段CD＝AB”是一个命题B．三角形的三条内角平分线的交点为三角形的内心C．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题是真命题D．“具有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义答案：B举一反三宇轩图书上一页下一页首页3．下列命题中，真命题是()A．周长相等的锐角三角形都全等B．周长相等的直角三角都全等C．周长相等的钝角三角形都全等D．周长相等的等腰直角三角形都全等答案：D举一反三宇轩图书上一页下一页首页4．画一个等腰△ABC，使底边长BC＝a，底边上的高为h，(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明)已知：求作：答案：略5．如图，已知在等腰三角形ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D.(1)尺规作图：过A、D、C三点作⊙O(只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法)；(2)求证：BC是过A、D、C三点的圆的切线．举一反三宇轩图书上一页下一页首页答案：(1)取AD的中点为O，作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆(2)提示：证∠BCO＝90°考点训练宇轩图书上一页下一页首页尺规作图与命题、证明训练时间：60分钟分值：100分考点训练宇轩图书上一页下一页首页一、选择题(每小题5分，共50分)1．(2011·扬州)已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】命题③、④是假命题．【答案】B考点训练宇轩图书上一页下一页首页2．(2011·福州)如右图所示，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C的个数是()A．2B．3C．4D．5【解析】满足条件的三角形是以AB为腰的等腰三角形，共有4个．【答案】C考点训练宇轩图书上一页下一页首页3．(2011·呼和浩特)下列判断正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个①顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形；②中心投影的投影线彼此平行；③在周长为定值P的扇形中，当半径为P4时，扇形的面积最大；④相等的角是对顶角的逆命题是真命题．考点训练宇轩图书上一页下一页首页【解析】由三角形的中位线定理易知顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点得到的四边形四条边相等且邻边互相垂直，所以其一定是正方形，①正确；由中心投影的定义知②错误；设扇形的半径为R，则弧长为P－2R，所以S扇形＝12R(P－2R)＝－R2＋12PR＝－(R－14P)2＋116P2，所以当R＝P4时，S扇形最大，③正确；因为相等的角是对顶角的逆命题为对顶角是相等的角，这是真命题，所以④也正确．综上所述，判断正确的有3个，故选B.【答案】B考点训练宇轩图书上一页下一页首页4．(2010中考变式题)如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是()A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去【解析】带③能满足“ASA”，唯一作出三角形．【答案】C考点训练宇轩图书上一页下一页首页5．(2010中考变式题)仅利用一副三角板不能完成的操作是()A．作已知直线的平行线B．作已知角的平分线C．测量钢球的直径D．找已知圆的圆心【解析】A、B、D都能用一副三角板完成操作，故选C.【答案】C考点训练宇轩图书上一页下一页首页6．(2012中考预测题)下列给出的条件一定能画出唯一的三角形的是()A．两个角和其中一角的对边B．三个角C．两边和其中一边的对角D．任意给出三条线段作三角形的三边【解析】能画出唯一三角形的条件是满足判定全等的条件．【答案】A考点训练宇轩图书上一页下一页首页7．(2012中考预测题)如图所示，已知线段a、h，求作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是考点训练宇轩图书上一页下一页首页(1)作线段BC＝a；(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；(3)在直线MN上截取线段h；(4)连接AB、AC，△ABC为所求的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是()A．(1)B．(2)C．(3)D．(4)【解析】第(3)步错在没说明怎样截取线段h.【答案】C考点训练宇轩图书上一页下一页首页8．(2010中考变式题)将直角三角形分割成四个小三角形，使得每个三角形与原直角三角形相似．下列分法错误的是()【解析】B、C、D三个选项满足分割的条件．【答案】A考点训练宇轩图书上一页下一页首页9．(2012中考预测题)如图，边长为1个单位的6×6的网格中，已知线段AB，找格点C，使S△ABC＝2平方单位，则这样的C点共有()A．4个B．5个C．6个D．7个【解析】用尺规去画图可得C点共7个，故选D.【答案】D考点训练宇轩图书上一页下一页首页10．(2011·深圳)下列命题是真命题的个数有()①垂直于半径的直线是圆的切线；②平分弦的直径垂直于弦；③若x＝1y＝2是方程x－ay＝3的一个解，则a＝－1；④若反比例函数y＝－3x的图象上有两点(12，y1)，(1，y2)，则y1＜y2.考点训练宇轩图书上一页下一页首页A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①中未强调过半径外端点，是假命题；②未说明被平分的弦不是直径，因为两条直径一定互相平分，但不一定互相垂直，②是假命题；只有③④是真命题．【答案】B考点训练宇轩图书上一页下一页首页二、填空题(每小题5分，共5分)11．(2010中考变式题)如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为5的线段________条．考点训练宇轩图书上一页下一页首页【解析】该“田字格”中含有4个长方形，每个长方形的对角线长均为5，共8条对角线．【答案】8考点训练宇轩图书上一页下一页首页三、解答题(共45分)12．(10分)(2011·新疆)请判断下列命题是否正确？如果正确，请给出证明；如果不正确，请举出反例．(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(2)一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．【答案