一次函数知识点总结与典型例题

1一次函数知识点总结与典型例题知识点一：变量、常量及函数定义函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为是x的函数。【注：判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应】例1、下列函数关系式中不是函数关系式的是（D）A.21yxB.21yxC.1yxxD.22yx例2、下列各图中表示y是x的函数图像的是（D）知识点二、自变量取值范围：①当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零；②关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方数大于等于零；③当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零；④当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围一般为非负数。例1、函数31xy的自变量x的取值范围是例2、函数3xy的自变量x的取值范围是例3、函数22)x（y的自变量x的取值范围是知识点三、阅读函数图像【注：阅读函数图像时必须先弄清楚x、y各表示什么】例1、小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象，小强9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：（1）小强到离家最远的地方需要几小时？此时离家多远？（2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是多少？(3）返回时平均速度是多少？解;（1)小强到离家最远的地方需要12小时：此时离家30km.（2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是15÷10.5=hkm/710(3）返回时平均速度是30÷（15-13）=15km/h知识点四、一次函数和正比例函数的定义1、正比例函数定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.【注：正比例函数一般形式y=kx①k≠0②x的指数为1】2、一次函数定义：一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.【注：一次函数一般形式y=kx+b①k≠0②x指数为1③b取任意实数】例1函数2(1)1kykxk是一次函数，则k值为k=1.例2函数是12()mymmx正比例函数，则m值为m=-2。xyOAxyOBxyODxyOC2XYAPOB知识点五：专题1-----一一次函数y=kx+b中k、b的作用k---决定了直线大致经过的象限及一次函数的性质：k＞0直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0直线经过第二、四象限，y随x的增大而减小。b---决定了直线与y轴交点的位置:b＞0直线与y轴的正半轴相交；b＜0直线与y轴的负半轴相交从而进一步确定直线所经过的象限。例1、已知一次函数y=mx+n-2的图像如图所示，则m、n的取值范围是（D）A.m＞0,n＜2B.m＞0,n＞2C.m＜0,n＜2D.m＜0,n＞2例2、如果,0,0bcab那么一次函数0cbyax的图像的大致形状是（A）知识点六：专题2-----一一次函数图像的交点问题一次函数y=kx+b与x轴的交点------令y=0，则kx+b=0，解出x即为直线与x轴的交点的横坐标。一次函数y=kx+b与y轴的交点------令x=0，则y=b,即直线与y轴交点坐标为（0，b）两个一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的交点-----联立y=k1x+b1组成关于x、y的二元一次方程组，方程组的解即为交点坐标y=k2x+b2例1、一次函数y=-2x+4的图象与x轴交点坐标是（2，0），与y轴交点坐标是(0,4)图象与坐标轴所围成的三角形面积是4例2、两直线y=2x-1与y=x+1的交点坐标为（D）A．（—2，3）B．（2，—3）C．（—2，—3）D．（2，3）知识点七：专题3-----一一次函数解析式的确定待定系数法确定一次函数解析式------先设出一次函数解析式为y=kx+b只需两个点的坐标代入建立k与b的二元一次方程组解出k、b即可。例1、已知一个正比例函数与一个一次函数交与点P（-2,2），一次函数与x轴、y轴交与A、B两点，且B（0，6）（1）求两个函数的解析式（2）求△AOP的面积解;(1)设正比例函数、一次函数的解析式分别为y=kx,y=k1x+b把p(-2,2)代入y=kx，得-2k=2∴k=-1∴正比例函数解析式为：y=-x把p(-2,2)B(0,6)代入y=y=k1x+b，得-2k1+b=2∴k1=2b=6b=6∴一次函数解析式为：y=2x+6(2)令y=0,则2x+6=0∴x=-3∴A(-3，0)∴OA=3∴△AOP的面积=OBOA21=6321=9例2、求与直线y=-2x+3平行，且经过（2，-2）的直线的解析式。解:设直线的解析式为y=kx+b∵直线与y=-2x+3平行∴k=-2把（2，-2）代入y=-2x+b,得-2×2+b=-2∴b=2∴设直线的解析式为y=-2x+2知识点八：专题4-----一一次函数与方程方程组一次函数与一元一次方程-------一次函数y=kx+b图像与x轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程kx+b=0的解一次函数与二元一次方程组-------两个一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的交点坐标即为二元一次方程组y=k1x+b1的解。y=k2x+b2例1、一次函数y=kx＋b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（C）A．x=2B．y=2C．x=-1D．y=-13例2、若函数y=x+b和y=ax+3的图象交于点P，则关于x、y的方程组3axybxy的解为____________知识点九：专题5-----一一次函数与不等式一次函数值大于（小于）0-------由直线与x轴交点的横坐标数形结合分析。两个一次函数的大小-----------由两条直线的交点向x轴作垂线将平面分成两部分数形结合分析。例1、如图，直线y=kx+b(k＜0）与x轴交于点（3,0），关于x的不等式kx+b＜0的解集是（）A．3xB．3xC．0xD．0x例2、如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3),则不等式2xax+4的解集为()A．3x2B．x3C．3x2D．x3知识点十：专题6-----一一一次函数的平移与翻折一次函数的平移---------口诀“上加下减，左加右减”【注：上下是指在表达式的尾部加减，左右是指在x上加减】一次函数的翻折---------沿x轴翻折将y换成“-y”,沿y轴翻折将x换成“-x”例1、直线143xy向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线4743xy例2、直线y=-3x+7关于x轴对称的直线解析式为y=3x-7;关于y轴对称的直线解析式为y=3x+7知识点十一：专题7-----一一一次函数的应用例1、【新疆2014年中考试题】如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站飞路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．（1）填空：A，B两地相距千米；（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；（3）客、货两车何时相遇？解：（1）填空：A，B两地相距420千米；（2）由图可知货车的速度为60÷2=30千米/小时，货车到达A地一共需要2+360÷30=14小时，设y2=kx+b，代入点（2，0）、（14，360）得，解得，所以y2=30x﹣60；（3）设y1=mx+n，代入点（6，0）、（0，360）得解得，所以y1=﹣60x+360由y1=y2得30x﹣60=﹣60x+360解得x=答：客、货两车经过小时相遇．4例2、某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元／克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元／克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．⑴分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系式；⑵李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？解：（1）y甲=477xy乙=530x(x≤3)即：y乙=530x(x≤3)530×3+530×0.8×（x-3）(x＞3)424x+318(x＞3)(2)当y甲=y乙时，477x=424x+318∴x=6即：买该种铂金饰品重量为6克时甲乙两商店一样。当y甲＜y乙时，477x＜424x+318∴x＜6即：买该种铂金饰品重量在4≤x＜6时到甲商店购买最合算当y甲＞y乙时，477x＞424x+318∴x＞6即：买该种铂金饰品重量在6＜x≤10时到乙商店购买最合算例3、【新疆2012年中考试题】库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库。已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元。设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为Ay元，By元。（1）请填写下表，并求出Ay，By与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，A村的运费较少？（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值。解：（1）填写如下：CD总计Ax吨（200﹣x）吨200吨B（240﹣x）吨（60+x）吨300吨总计240吨260吨500吨由题意得：yA=40x+45（200﹣x）=﹣5x+9000；yB=25（240﹣x）+32（60+x）=7x+7920；（2）对于yA=﹣5x+9000（0≤x≤200），∵k=﹣5＜0，∴此一次函数为减函数，则当x=200吨时，yA最小，其最小值为﹣5×200+9000=8000（元）；（3）设两村的运费之和为W（0≤x≤200），则W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920，∵k=2＞0，∴此一次函数为增函数，则当x=0时，W有最小值，W最小值为16920元．CD总计Ax吨200吨B300吨总计240吨260吨500吨