您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 【名校专题攻略】2012高考专题复习第一部分 专题七 第2讲 概率与统计(文)
概率是高考的必考内容,主要考查的内容有:等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验中恰好发生k次的概率及离散型随机变量的分布列、期望与方差等.一般会有一道选择题或填空题与一道解答题,在高考中所占的比重大于10%.近年来,高考中的应用题基本是考查离散型随机变量的期望与方差的解答题.统计知识则主要考查抽样方法、频率分布直方图、正态分布等知识,主要以选择题和填空题的形式出现.1.(2010·北京高考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是()A.45B.35C.25D.15解析:分别从两个集合中各取一个数,共有15种取法,其中满足b>a的有3种取法,故所求事件的概率为P=315=15.答案:D2.(2010·湖北高考)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是()A.512B.12C.712D.34解析:依题意得P(A)=12,P(B)=16,事件A,B中至少有一件发生的概率等于1-P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-12×56=712.答案:C3.(2010·江苏高考)某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100根中,有________根棉花纤维的长度小于20mm.解析:由题意知,棉花纤维的长度小于20mm的频率为(0.01+0.01+0.04)×5=0.3,故抽测的100根中,棉花纤维的长度小于20mm的有0.3×100=30(根).答案:304.(2010·重庆高考)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求:(1)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率;(2)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.解:考虑甲、乙两单位的排列.甲、乙两单位可能排列在6个位置的任两个,有A26=30(种)等可能的结果.(1)设A表示“甲、乙的演出序号为偶数”,则A包含的结果有A23=6(种),故所求概率为P(A)=630=15.(2)设B表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”,则B表示甲、乙两单位的演出序号相邻,B包含的结果有5×2!=10(种).P(B)=1-P(B)=1-1030=23.1.随机事件的概率(1)随机事件概率0≤P(A)≤1(若事件A为必然事件,则P(A)=1,若事件A为不可能事件,则P(A)=).(2)等可能事件的概率P(A)=(其中,为一次试验中可能出现的结果总数,为事件A在试验中包含的基本事件个数).0mnnm2.互斥事件有一个发生的概率P(A+B)=.推广:若事件A1,A2…,An两两互斥,则P(A1+A2+…+An)=.P(A)+P(B)P(A1)+P(A2)+…+P(An)3.相互独立事件同时发生的概率P(A·B)=.P(A)·P(B)4.独立重复实验如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)=.CknPk(1-P)n-k5.抽样方法抽样方法主要有、两种,这两种抽样方法各自适用于不同特点的总体,它们之间既有区别又有联系,但不论是哪种抽样方法,在整个抽样过程中,每一个个体被抽到的概率是,都等于和的比值.简单随机抽样分层抽样相等的样本容量总体容量6.频率分布直方图频率分布直方图中每一个小矩形的面积等于数据落在相应区间上的,所有小矩形的面积之和等于.在实际解题中要注意横坐标与纵坐标所代表的数据意义.频率1[例1](1)(2010·四川高考)一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是()A.12,24,15,9B.9,12,12,7C.8,15,12,5D.8,16,10,6(2)(2010·北京高考)从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图),由图中数据可知a=________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.[思路点拨](1)首先求抽样比,再求各层所要人数;(2)利用各矩形的面积之和为1求出a后,可得在[140,150]内选取人数.[自主解答](1)抽样比为40800=120,因此,从各层依次抽取的人数为160×120=8,320×120=16,200×120=10,120×120=6.(2)因为直方图中的各个矩形的面积之和为1,所以有10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60人.其中身高在[140,150]内的学生人数为10人,所以从身高在[140,150]范围内抽取的学生人数为1860×10=3人.[答案](1)D(2)0.033解决等可能事件发生的概率问题的关键是弄清基本事件的总数n以及某个事件A所包含的基本事件的个数m,常常用排列组合知识及公式P(A)=mn解决.[例2]在一次口试中,要从20道题中随机抽出6道题进行回答,答对了其中的5道就获得优秀,答对其中的4道题就获得及格.某考生会回答20道题中的8道题,试求:(1)他获得优秀的概率是多少?(2)他获得及格与及格以上的概率有多大?[思路点拨]用排列、组合的知识正确求出答对5道题、4道题的可能种数是解答本题的关键.在计算过程中,始终要记住是从20道题中随机选了6道题,不管他需要答对几道题.答对至少4道题中的分类不要遗漏.[自主解答]只需求出答对5道题及以上的可能种数.由于选了6道题,而他会8道题,故可把他答对5道题及以上分成两类,一类是选的6道题全在他会的8道题里,有C68种选法;另一类是选的6道题中有5道题是从会的8道题中去选的,另一题是从剩下的12个不会的题中选的,有C58C112种选法,故共有C68+C58C112=700种.从20道题中任取6道题的结果数,即是从20个元素中任取6个元素的组合数C620.由于是随机抽取,故这些结果出现的可能性都相等.(1)记“他答对5道题及以上”为事件A1,他答对5道题及以上的结果有700种,故事件A1的概率为P(A1)=700C620=351938.(2)记“他至少答对4道题”为事件A2,由分析知他至少答对4道题的可能结果为C68+C58C112+C48C212=5320种.故事件A2的概率为P(A2)=5320C620=751.1.相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查,这类问题具有一个明显的特征,那就是在题目的条件中已经出现一些概率值,解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立),再选择相应的公式计算求解.2.在应用n次独立重复试验的概率公式求解问题时,一定要审清是多少次试验中发生k次的事件.[例3]在甲、乙两个批次的某产品中,分别抽出3件进行质量检验.已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为14、13,假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响.(1)求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率;(2)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件的概率.[思路点拨](1)中有两种情况;(2)中有三种情况.[自主解答](1)记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A.由题意,事件A包括以下两个互斥事件:①事件B:有2件甲批次产品检验不合格.由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率公式,得②P(B)=C23(14)2(1-14)1=964;②事件C:3件甲批次产品检验都不合格,由相互独立事件概率公式,得P(C)=(14)3=164.所以,P(A)=P(B)+P(C)=532.(2)记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件”为事件D.由题意,事件D包括以下三个互斥事件:①事件E:3件甲批次产品检验都不合格,且有2件乙批次产品检验不合格.其概率P(E)=(14)3·C23(13)2(1-13)=1288.②事件F:有2件甲批次产品检验不合格,且有1件乙批次产品检验不合格.其概率P(F)=C23(14)2(1-14)·C13(13)1(1-13)2=116;③事件G:有1件甲批次产品检验不合格,且有0件乙批次产品检验不合格.其概率P(G)=C13(14)1(1-14)2·(1-13)3=18.所以,P(D)=P(E)+P(F)+P(G)=55288.本题条件不变,试求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多2件的概率.解:记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多2件”为事件D.由题意,事件D包括以下两个互斥事件:①事件E:3件甲批次产品检验都不合格,且有1件乙批次产品检验不合格.其概率P(E)=(14)3·C13(13)1(1-13)2=1144;②事件F:有2件甲批次产品检验不合格,且有0件乙批次产品检验不合格.其概率P(F)=C23(14)2(1-14)·(1-13)3=124.所以,P(D)=P(E)+P(F)=7144.分类讨论思想[例4](2010·全国卷Ⅰ)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;(2)求投到该杂志的4篇稿件中,至少有2篇被录用的概率.[解](1)记A表示事件:稿件恰能通过两位初审专家的评审;B表示事件:稿件能通过一位初审专家的评审;C表示事件:稿件能通过复审专家的评审;D表示事件:稿件被录用.则D=A+B·C,……………………………………………(2分)P(A)=0.5×0.5=0.25,P(B)=2×0.5×0.5=0.5,P(C)=0.3,………………………………………………(4分)P(D)=P(A+B·C)=P(A)+P(B·C)=P(A)+P(B)P(C)=0.25+0.5×0.3=0.40.……………………………………………(6分)(2)记A0表示事件:4篇稿件中没有1篇被录用;A1表示事件:4篇稿件中恰有1篇被录用;A2表示事件:4篇稿件中至少有2篇被录用.A2=A0+A1.……………………………………(8分)P(A0)=(1-0.4)4=0.1296,……………………(9分)P(A1)=C14×0.4×(1-0.4)3=0.3456,…………(10分)P(A2)=P(A0+A1)=P(A0)+P(A1)=0.1296+0.3456=0.4752,………………………………………(11分)P(A2)=1-P(A2)=1-0.4752=0.5248.…………(12分)[解法心得]本题在解题过程中正确理解“被录用”的条件,恰当地对问题进行分类是关键,分类时要注意做到不重不漏,标准统一,同时注意互为对立事件的概率公式的应用.(2010·全国卷Ⅱ)如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是p,电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p;(2)求电流能在M与N之间通过的概率;解:记Ai表示事件:电流能通过Ti,i=1,2
本文标题:【名校专题攻略】2012高考专题复习第一部分 专题七 第2讲 概率与统计(文)
链接地址:https://www.777doc.com/doc-1908446 .html