21.9-在一般条件下重积分变量变换公式的证明-数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大

本节将给出在具有一阶连续偏导数的条件下,重积分变量变换公式(定理21.13)的一般证明.*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明数学分析第二十一章重积分*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第二十一章重积分高等教育出版社(,)(,)0,(,).(,)xyJuvuvuv证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理.引理设变换:(,),(,)Txxuvyyuv将uv平面()(,)dd.DJuvuvD则区域的面积上的由分段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一xyD地映成平面上的闭区域，在上分别有一阶连续偏导数且其函数行列式*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明(,),(,)xxuvyyuv数学分析第二十一章重积分高等教育出版社证明分以证下四步：00001(,)int,0,(,),uvuvG第步：对的邻域00(,)IGuvI当正方形且时，(,)dd.ITIJuvuvI2intI第步：正方形，3(,)dd.DJuvuv第步：4(,)dd.DJuvuv第步：*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明(,)dd.ITIJuvuv数学分析第二十一章重积分高等教育出版社00(,)1int,0,uv第步的证明设取正数00,Juv0011(,)int,(,)uvGuvG故的邻域当00,,.JuvJuv定义映射°0000000000000000,,,,,,,,,.uvuvxuvxuvxuvuuxuvvvyuvyuvyuvuuyuvvv%*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明200001,,.JuvJuv满足数学分析第二十一章重积分高等教育出版社°00000000,,,,,,,TxuvuuxuvLuvJuvvvyuvyuv%0000000000,,,.,,uvTuvxuvxuvJuvyuvyuv其中00,,,xuvyuvuv由于，在处可微，°,,xuvxuv00000000,,,,uvxuvxuvxuvuuxuvvv,0,o*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明因此数学分析第二十一章重积分高等教育出版社,,yuvyuv%00000000,,,,uvyuvyuvyuvuuyuvvv,0,o2200.uuvv其中100,,.TabJuvMabcdcd设令001(,),(,),uvGGuvG的邻域当°,,,22xuvxuvM,,22yuvyuvM%*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明数学分析第二十一章重积分高等教育出版社int,I任取正方形(,),(,),(,).xuvyuvTIuvI任取其中111(,)(,),(,),uvLxuvyuv设由于°°11100111,,,,,,TxuvxuvuuJuvvvyuvyuv%%由此°°111111,,.,,xuvxuvuuabvvcdyuvyuv%%*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明00(,),.uvII满足并设边长是数学分析第二十一章重积分高等教育出版社于是°°11111,,,,uuaxuvxuvbyuvyuv%%°,,,,axuvxuvbyuvyuv%°,,,,axuvxuvbyuvyuv%2222abMM12vv同理*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明.222abMM数学分析第二十一章重积分高等教育出版社11II设是与同中心的正方形，边长是，11(,).uvI于是111(,)(,),(,)(,),TuvxuvyuvLuvLI1.TILI这样就证明了112IllL设的二邻边向量是,，由于是仿射变换，uvuv12LlLluvuv是邻边向量为，的平行四边形，故1120012001,,.LILlLlJuvllJuvIuvuvuvuv*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明从而1LI数学分析第二十一章重积分高等教育出版社200,1TIJuvI00,JuvI,dd.IJuvuvI1001,TILIJuvI*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明因此200,1,JuvI00,dd,.IJuvuvJuvI由此得到数学分析第二十一章重积分高等教育出版社*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明int2I若有正方形第步的证明使,dd0,ITIJuvuv44I将等分为个小正方形，则个小正方形中必有一个1(),I记为使11,dd.4ITIJuvuv144I再将等分为个小正方形，则个小正方形中必有一2(),I个记为使222,dd.4ITIJuvuv数学分析第二十一章重积分高等教育出版社12IIL这样我们得到正方形序列使,dd,4nnnITIJuvuvL00116.2,int.nnuvI由定理，存在I00,intuvG存在的开邻域满足第1步的结论..nnIG当充分大时从而*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明0,于是于是4nnII0,00.I即令得到0，矛盾,dd,4nnnITIJuvuv数学分析第二十一章重积分高等教育出版社3uv用平行于坐标轴的直线将平第步的证明面分割成大小相等的闭正方形，12,,,,nIII为L12int,,,.tIII不完全在内正方形为L1,2,,iTIinILD和的分割1,2,,.DiTTIinIL*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明int假定与交集不空的正方形12int,,,,sIII完全在内正方形为L再作的分割00.DTTT由于在上的一致连续性，当时，11,ttiiiiIDTIIIUU又因为及可证数学分析第二十一章重积分高等教育出版社0011lim0lim0DttiiTTiiITI和II.同时成立1,,int,,0,,.uvuvuv为此，定义上的函数,.7uv因仅在零面积集上不连续，据定理21，*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明,.uv在上可积,iiuvI其中是在上的振幅.I.1.i且至少有一个内点0121.4lim0,niiTiI由定理，IintiI因不完全在内，0011limlim0.tniiiTTiiIIII故int0iiI而完全在内,.数学分析第二十一章重积分高等教育出版社,,JuvM设在上的上确界为则10,dd,ddisiIJuvuvJuvuv1,ddisiIJuvuvI于是01limDsiTiDTI,ddJuvuv*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明01lim0.DtiTiTII同理可证0.10tTiiMII01lim,ddDisTiIJuvuv数学分析第二十一章重积分高等教育出版社10,,,,,4uvJxyTTxy第步的证明记以代替,,iiIDTI以代替代替代入上式,iiiuvI理，存在，使得1iiITTI0,,,,1,2,,.iiiiiJxuvyuvTIisL,Juv由于在上可积及0,,,,1JuvJxuvyuv，*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明并由积分中值定0,ddiTIJuvuv数学分析第二十一章重积分高等教育出版社01,ddlim,siiiTiJuvuvJuvI有001lim,,,,siiiiiiiTiJuvJxuvyuvTI01lim.siTiTID最终得到(,)dd.DJuvuv*§9在一般条件下重积分变量变换公式的证明