3.2简单的三角恒等变换(2)

2019/12/133.2简单的三角恒等变换2019/12/13复习和角公式和差角公式sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(2019/12/13二倍角公式cossin22sin22sincos2cos22sin211cos22tan1tan22tan2019/12/13C(-)C(+)S(-)S(+)T(+)T(-)S2C2T2)tantan1)(tan(tantan22cos1cos22cos1sin22；)tan)(sin(cossin22abxbaxbxa其中复习回顾2019/12/13:1sin221cos()2221sin1tan211sin半角公式cos＝+cos＝其中号由所在象限的函数符号而定coscos＝＝＝+cos+cos2019/12/13返回目录积化和差公式cosαcosβ=;sinαsinβ=;sinαcosβ=;cosαsinβ=.)-cos()cos(21)-sin()n(si21)-sin()n(si21)-cos()cos(212019/12/13返回目录和差化积公式sinα+sinβ=;sinα-sinβ=;cosα+cosβ=;cosα-cosβ=.)-(s2)(n2si2co)-(sin2)(2cos2)-(cos2)(2cos2)-(sin2)(n2si-22019/12/132tan1tan22sin22tan1tan12cos2tan1tan22tan万能公式2019/12/13与三角函数有关的最值问题对于与三角函数有关的最值问题，我们可以把函数式化成一个角的一个三角函数，从而利用三角函数的最值来求解.下面我们分类加以说明.sinx1-153sinx82.y解：y=的最大值和最小值分别是和，的最大值和最小值分别是和二、y=asinx+bcosx型一、y=a+bsinx型例1求函数y=5-3sinx的最大和最小值.分析根据正弦函数的最值情况来定.2019/12/133sin4cos)yxx4＝5sin(x+)(其中是满足tan=的锐角30222xxxmax，++，当+＝时，y5sin25sin(x+)＝＝5,min,),5.2y433而sin=sin(+＝cos＝555min.ymax故y＝5，3203sin4cos.2sinxcos.xyxxx例当时，求函数的最值分析这是关于，的一次齐次式，可化成一个角的一个三角函数式解：2019/12/13sinxc+dsinxay+b三、型53sinx3.2sinxy例求函数的最值+53sinx(y+3)sinx2,32sinxyyy分析可利用反求法解：由得＝5若矛盾，+2sinxy+3sinx1y5＝，2222)11,326(y+3)yyy2(5sinx，即+160,min23ymax2解得：y8.y＝8，.32019/12/13ya22四、sinx+bcosx型434y22例求函数sinx+cosx的最值.22分析这是关于sinx、cosx的二次齐次式，可先降次.解：1cos21cos234322xxy22+sinx+cosx＝+41cos2.2x7＝+2min3.ymaxy＝4,2019/12/13sinx52sinx3yay2222五、sinx+bcosx+ccosx型例求函数sinx+cosx+cosx的最值.2sinx3y22解：sinx+cosx+cosx1cos21cos2sin2xxx+＝++322sin2xcos222sin2x24x＝++＝（+）+min2222.ymaxy＝+，2019/12/13sinx2642332yay222六、sinx+b+c型例求函数cosxsinxcosx+，x[,]的最值..分析对于这种二次非齐次式，可以看作是可化为二次函数的函数求解解：242341y222cosxsinxcosx+cosxcosx+2213()33＝cosx211,,3322又xcosxminmax21,;321,.32maxmin15当x＝时，(cosx)y＝41当x＝时，(cosx)y＝42019/12/13sinxsinx7sinxixnyay七、（+cosx)+bcosx型例求函数+cosx+scosx的最值.2sinx12sinxcosx.sinx分析注意到（+cosx）＝可把+cosx看作是一个整体，利用换元法.解：sinxsinxsin(x),422t设+cosx＝t,t＝+cosx＝2+222ttsinx12sinxcosx,sinxcosx21＝（+cosx）＝＝222t111y=tt(1)1,2222.t1代入得：+＝+t＝2211;22tminmax1当t＝时，y＝-当t＝时，y＝22019/12/13221.3sinx1(2;3sinxx3sin43sinx6sinx11.22.f(x)2220-22f(x).13.f(x)22yyyyaaaa1232练习题求下列函数的最值：＝logcosx);2＝log+x＝4+3cosx0,＝cosx+cosx2已知函数＝cosxcosx+x的最小值是，试确定实数的值，并求出的最大值讨论函数＝cos（x22).2）+coscos(xcosxcos的值域、周期性、奇偶性及其单调性2019/12/13143PB作业组学与练2019/12/131.1-102-1133541222.32221.113.T,222,.2aakkkkmaxmax答案：，，，，＝时，y＝；＝时，y＝，，＝，偶函数，在区间+上，在区间上kZ2019/12/13例5.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=，问当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。3OABPCDQ:,=,=.RtOBCOB解在中BCcossin,=DARtOADOA在中tan60＝3.OA＝3DA3＝3BC3＝3sin.3AB＝OBOA＝cos3sin.3.ABCDS设矩形的面积为SBC＝AB＝3cossinsin323sincossin3＝131cos2sin2232＝133sin2cos2266＝1313sin2cos22263＝2019/12/13例5.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=，问当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。3OABPCDQSBC＝AB＝3cossinsin31313sin2cos22263＝13sin2663＝0,3由得52,6662,62所以当＝,6即＝时S最大＝1363＝＝3.6,ABCD,6因此当＝时矩形的面积最大最大面积为3.62019/12/13442sin23sincoscos,0,.yxxxx例求函数的最小正周期和最小值并写出该函数在区间上的单调递增区间44sin23sincoscosyxxxx解：2222(sincos)(sincos)3sin2xxxxx3sin2cos2xx2sin(2)6x,2;函数的最小正周期是最小值是0,该函数在区间上的单调递增区间是10,,35[,].6+22+2,262kxk令++,63kxk令=0,0,3kx5=1,,6kx2019/12/133(2cos,tan()),(2sin(),tan()),2242424().,,0,.xxxxabfxabfx例已知向量令求函数的最大值最小正周期并写出函数在上的单调区间()22cossin()tan(+)tan()2242424xxxxfxab解：1tantan1222222cos(sincos)222221tan1tan22xxxxxxx22sincos2cos1222xxxsincosxx=2sin().4x2,2;函数的最小正周期是最小值是0,,[,].44该函数在区间上的单调递增在区间单调递减2019/12/1324()3cos+sin0,.6;5II,3,.36fxxxcosxRfxyfx例设函数且函数的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标是I求的值如果在区间上的最小值为求的值313()cos2sin2222fxxx解：（I）3sin232x2,632依题意得1.2解之得2019/12/133)2（II)由（I）知,f(x)=sin(x+357,0,,3636xx又当时，1sin()1,23x故513(),,3622fx从而在上取得最小值133.22因此，由题设知31.2故2019/12/13例4.若，设，(sin,),(sin3cos,1)axmbxx()fxab（1）写出函数f(x)的解析式，并指出它的最小正周期；（2）若，f(x)的最小值为2，求m的值。[0,]3x2019/12/13