梁昆淼-数学物理方法第7章

第七章数学物理方程定解问题§7.2定解条件§7.3数学物理方程的分类(自学）§7.1三类数学物理方程的导出第二篇数学物理方程§7.4达朗贝公式、定解问题（一）、梯度矢量zkyjxi令§7.1三类数学物理方程的导出)()(zkyjxizkyjxi222222zyx222222zyx有时记22222yx2222223zyx记22tuutt22xuuxxtuut222222zyx（二）、三类数学物理方程的导出1、弦的横振动xx+x1T2T1M2M12),(txFxydsdm0coscos1122TT1122sinsinTTttdsuTT1122sinsin弦的横向位移为u(x,t)ttdmu考虑小振动xx+x1T2T1M2M12xy22)()(dydxds0coscos1122TTttdsuTT1122sinsin012TTttdsuTT1122sinsindx22sintgxxxu11sintgxxuttxxdxxxdxuTuTu)()(xx+x1T2T1M2M12xyttxxdxxxdxuuuT)(ttxxdxxxudxuuT)(TTT12ttxxuTu0xxttTuuTa202xxttuau记例：一长为l的均匀柔软轻绳，其一端固定在竖直轴上，绳子以角速度转动，试推导此绳相对于水平线的横振动方程xx+x1T2T1M2M12xydxdm弦的横向位移为u(x,t)xylxx+xttdxuTT1122sinsinxdxTT22211coscosxdxdT2lxxdxxTlT2)()(ttxxdxxxdxuTuTu)()(ttxxdxxxdxuTuTu)()(lxxdxxT2)()(21222xlttxxdxxxdxuuxluxl])(21[])(21[2222220])[(21222xttuxlxu整理得：2、均匀杆的纵振动将细杆分成许多段t时刻，A段伸长),(txu),(),(txutdxxutduF)(xuxxdxx)(dxxuABCt时刻，B段伸长相对伸长dxtxutdxxu),(),(xu事实上，相对伸长是位置的函数，如xxudxxxu相对伸长由虎克定律，B两端的张应力（单位横截面的力）分别为xxudxxxuxxuYdxxxuYB段运动方程为22)(tuSdxxuYSxuYSxdxxttxxdxxxudxuuYF)(xuxxdxx)(dxxuABCB段运动方程为ttxxdxxxudxuuYttxuxuYttxxuYuYa202xxttuau记22)(tuSdxxuYSxuYSxdxx3、扩散方程由于浓度不同引起的分子运动uDq扩散流强度q，即单位时间内流过单位面积的分子数或质量，与浓度u(单位体积内的粒子数）的下降成正比D为扩散系数)(kzujyuixuDqxuDqxyuDqyzuDqz负号表扩散方向与浓度梯度相反nuDq大小dydzdtqxxuDqxyuDqyzuDqz),,(zyxxyzdxdydzx方向左表面，dt时间流入六面体的流量为流出六面体的流量为dydzdtqdxxxdydzdtqxxx方向左表面，单位时间流入六面体的流量为单位时间流出六面体的流量为dydzdtqdxxx净流入量为dydzdtqdydzqdxxxxxdydzdtqqxxdxxx)(dxdydzdtxqx),,(zyxxyzdxdydzx方向净流入量为dxdydzdtxqxdxdydzdtxuDx)(y方向净流入量为dxdydzdtyuDy)(z方向净流入量为dxdydzdtzuDz)(),,(zyxxyzdxdydz立方体净流入量为dxdydzdtzuDzdxdydzdtyuDydxdydzdtxuDx)()()(如立方体内无源和汇dxdydzuutdtt)(dt时间内粒子增加数为dxdydzduzyx,,),,(zyxxyzdxdydzdxdydzdttudxdydztudxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDx)()()(0)]}()()([{dxdydzzuDzyuDyxuDxtuD=恒量，令a2=D0)(2zzyyxxtuuuau02uaut02xxtuau一维02uaut02xxtuau若单位时间内单位体积中产生的粒子数为F=(x,y,z,t)与u无关),,,(2tzyxFuaut),,,(2tzyxFuaut若单位时间内单位体积中产生的粒子数为b2uubuaut22022ubuaut3‘、热传导方程)],(),()[(txuttxuxAcQ0t设有一根恒截面为A的均匀细杆，沿杆长有温度差，其侧面绝热u(x,t)为x处t时刻温度，为杆密度xxx+x（1）、dt时间内引起小段x温度升高所需热量为txAucQtxxx+x（2）、Furiers实验定理：单位时间内流过单位面积的热量q(热流强度量）与温度的下降成正比nnukqk为热传导系数一维情况下如图有xukqxnukq大小Adtqxxx方向左表面，dt时间流入圆柱体的热量为dt时间流出圆柱体的热量为Adtqdxxxxxx+xAdtqAdtqdxxxxxdt时间净流入的热量为AdxdtxqxdxdtAucQtAdxdtkudxdtAucxxtAdxdtkuxxxukqx02xxtuaucka24、泊松方程电通量的高斯定理0qSdEdV01SdEdVE0/ErrldErVrV0)()(0VE02/V称为泊松方程02/V称为泊松方程称为Laplace方程002V),,,(2tzyxFuaut对于稳定浓度分布有0tu),,(),,,(zyxFtzyxF2/),,(azyxFu为泊松方程0),,(zyxF0u为Laplace方程5、稳定浓度分布和若若§7.2定解条件对于输运方程（一）、初始条件02uaut初始条件要求已知),,(),,,(0zyxtzyxutt对于弦振动方程02uautt初始条件要求已知),,(),,,(0zyxtzyxutt),,(),,,(0zyxtzyxuttt位移满足速度满足x=l/2xyx=lhx00)(ttxu0),,,(0ttttzyxu位移满足速度满足]2/,0[)/2(lxlh],2/[)(2llxllh（二）、边界条件),,,(),,,(000000tzyxftzyxuzyx第一类边界条件),,,(),,,(000000tzyxfntzyxuzyx第二类边界条件第三类边界条件),,,(]),,,([000000tzyxfntzyxuHuzyx),,,(),,,(000000tzyxftzyxuzyx如两端固定弦,端点位移x=l/2xyx=lhx00),(0xtxu0),(lxtxu（1）、第一类边界条件如细杆热传导端点温度l0x00),(utxuxllxutxu),(（如扩散端点浓度）A）、如细杆的纵振动，x=a处受力f(t))()(tfSYuaxn（2）、第二类边界条件)()(tfSYuaxxYStfuaxx)(如杆端自由f(t)=00axxu),,,(000000tzyxfuzyxna0x)(tf如细杆热传导端点有热量流出)(tfaxnkuaxxq如细杆热传导端点有热量流入axaxxxukq)(tfB）、热传导axxuk0xa如细杆热传导，一端自由冷却)(axuh则热流强度与杆端u|x=a和周围介质温度差有关系axaxxnukq（3）、第三类边界条件axxHuu)(axxuk),,,()(000000tzyxfHuuzyxn0xahkH/x=0处0xa)(0xuh00xxxnukq0)(xxHuu0xxukaxxHuu)(0)(xxuk（三）、衔接条件0sinsin)(21TTtF)(tFx0xy012),0(),0(00txutxu11sintg),0(0txux22sintg),0(0txux)(),0(),0(00tFtxTutxTuxx),0(),0(00txutxu例：半径为a,表面熏黑的金属长圆柱，受到阳光照射，阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为M，写出热传导的边界条件。dSdtMQsin1解：xy阳光照射，流出圆柱的热量为dS由于温度梯度，流出圆柱的热流为dSdtkuQan2dtdSukadSdtMQsin1xy设柱面外温度为u0dtdSukQa2柱面温度u|=a由牛顿冷却定律dSdtuuhQQa)(021dtdSuuhdtdSukdSdtMaa)(sin0令kMmkhH0sin)(HumHuua0)(HuHuua02dtdSuuhdtdSukdSdtMaa)(sin0当M=0，m=0xy例：一根导热杆由两段构成，两段热传导系数、比热、密度分别为kI,cI,I,kII,cII,II,初始温度为u0,然后保持两端温度为零，写出热传导问题的定解方程。解：第一段0IxxIItuckuII00uutI01xxIu第二段0IIxxIIIItuckuIII00uutII03xxIIu22xxIIxxIuu22xxIIxIIxxIxIukuk衔接条件：温度相等热流相等1x3x2xx§7.4达朗贝公式、定解问题（一）、达朗贝公式02xxttuau考虑弦的振动方程表示为：022222xuatu或：0))((uxatxat令：0))((uxatxat)(axtxxttxatxxtt)(xat02u)(21x)(21at令：)(axtatxatx02u对积分)(fu)()(2fdfu再积分)()(21ff)()(21atxfatxf表示以速度a沿x正负方向的行波函数f1和f2的确定)()()(21xxfxf考虑定解问题02xxttuau)()(),(0xxtxut)()(),(0xxtxutt)()(21atxfatxfu)(')('21atxafatxafut)