迪杰斯特拉算法和Floyd算法实现无向图的最短路径的计算和求解

沈阳理工大学算法与创新设计课程设计11摘要本次课程设计主要核心为利用迪杰斯特拉算法和Floyd算法实现无向图的最短路径的计算和求解。要求理解算法的具体实现流程、学会正确使用该算法求解实际问题。本次课程设计具体内容是：通过对两个算法的理解与应用来比较两个算法的优缺点。本程序要求结合最短路算法以及相应的数据结构的定义和使用，实现一个最短路径算法的简单应用。本课程设计是对书本知识的简单应用，以此培养大家用书本知识解决实际问题的能力；培养实际工作所需要的动手能力；培养以科学理论和工程上能力的技术，规范地开发大型、复杂、高质量的应用软件和系统软件。关键字：迪杰斯特拉算法，Floyd算法，最短路径，算法设计，数据结构沈阳理工大学算法与创新设计课程设计22目录摘要---------------------------------------------------------------1一、Dijkstra算法---------------------------------------------------31.1定义概览----------------------------------------------------31.2算法描述----------------------------------------------------31.2.1算法思想：---------------------------------------------31.1.2算法步骤-----------------------------------------------31.3算法代码实现------------------------------------------------41.4算法实例----------------------------------------------------5二、Floyd算法------------------------------------------------------72.1定义概览----------------------------------------------------72.2算法描述----------------------------------------------------72.2.1算法思想原理-------------------------------------------72.3算法代码实现-----------------------------------------------10三、结论----------------------------------------------------------11四、参考文献------------------------------------------------------12沈阳理工大学算法与创新设计课程设计33一、Dijkstra算法1.1定义概览Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。问题描述：在无向图G=(V,E)中，假设每条边E[i]的长度为w[i]，找到由顶点V0到其余各点的最短路径。1.2算法描述1.2.1算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。1.1.2算法步骤：a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则u,v正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则u,v权值为∞。沈阳理工大学算法与创新设计课程设计44b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。执行动画过程如下图1.3算法代码实现：constintMAXINT=32767;constintMAXNUM=10;intdist[MAXNUM];intprev[MAXNUM];intA[MAXUNM][MAXNUM];voidDijkstra(intv0){boolS[MAXNUM];//判断是否已存入该点到S集合中intn=MAXNUM;for(inti=1;i=n;++i){dist[i]=A[v0][i];S[i]=false;//初始都未用过该点if(dist[i]==MAXINT)prev[i]=-1;else沈阳理工大学算法与创新设计课程设计55prev[i]=v0;}dist[v0]=0;S[v0]=true;for(inti=2;i=n;i++){intmindist=MAXINT;intu=v0;//找出当前未使用的点j的dist[j]最小值for(intj=1;j=n;++j)if((!S[j])&&dist[j]mindist){u=j;//u保存当前邻接点中距离最小的点的号码mindist=dist[j];}S[u]=true;for(intj=1;j=n;j++)if((!S[j])&&A[u][j]MAXINT){if(dist[u]+A[u][j]dist[j])//在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径{dist[j]=dist[u]+A[u][j];//更新distprev[j]=u;//记录前驱顶点}}}}1.4算法实例先给出一个无向图沈阳理工大学算法与创新设计课程设计66用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下沈阳理工大学算法与创新设计课程设计77二、Floyd算法2.1定义概览Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshallalgorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。2.2算法描述2.2.1算法思想原理：Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k)+Dis(k,j)Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j)=Dis(i,k)+Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。2.2.2算法描述：a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。b.对于每一对顶点u和v，看看是否存在一个顶点w使得从u到w再到v比己知的路径更短。如果是更新它。2.2.3Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角如下所示给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点沈阳理工大学算法与创新设计课程设计88相应计算方法如下：沈阳理工大学算法与创新设计课程设计99最后A3即为所求结果。沈阳理工大学算法与创新设计课程设计10102.3算法代码实现typedefstruct{charvertex[VertexNum];//顶点表intedges[VertexNum][VertexNum];//邻接矩阵,可看做边表intn,e;//图中当前的顶点数和边数}MGraph;voidFloyd(MGraphg){intA[MAXV][MAXV];intpath[MAXV][MAXV];inti,j,k,n=g.n;for(i=0;in;i++)for(j=0;jn;j++){A[i][j]=g.edges[i][j];path[i][j]=-1;}for(k=0;kn;k++){for(i=0;in;i++)for(j=0;jn;j++)if(A[i][j](A[i][k]+A[k][j])){A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];path[i][j]=k;}}}沈阳理工大学算法与创新设计课程设计1111三、结论Dijkstra算法求单源、无负权的最短路时效性较好，时间复杂度为O（V*V+E）,可以用优先队列进行优化，优化后时间复杂度变为0（v*lgn）。源点可达的话，O（V*lgV+E*lgV）=O（E*lgV）。当是稀疏图的情况时，此时E=V*V/lgV，所以算法的时间复杂度可为O（V^2）。可以用优先队列进行优化，优化后时间复杂度变为0（v*lgn）。Floyd算法求多源、无负权边的最短路。用矩阵记录图。时效性较差，时间复杂度O(V^3)。Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshallalgorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2)。Floyd-Warshall的原理是动态规划：设Di,j,k为从i到j的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。若最短路径经过点k，则Di,j,k=Di,k,k-1+Dk,j,k-1；若最短路径不经过点k，则Di,j,k=Di,j,k-1。因此，Di,j,k=min(Di,k,k-1+Dk,j,k-1,Di,j,k-1)。在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。沈阳理工大学算法与创新设计课程设计1212四、参考文献[1］《数据结构》（C语言版），严蔚敏，清华大学出版社，2005．[2］《算法设计与分析》，王晓东主编，清华大学出版社，2005[3］汪诗林等译，《数据结构、算法与应用》，（美）SartajSahni著，机械工业出版社，1999[4］《数据结构与算法分析》，CLIFFORDA.SHAFFER著，张铭、刘晓丹译，电子工业出版社，1998[5]《计算机算法设计与分析》，王晓东，电子工业出版社，2007[6]《数据结构与算法使用教程》，刘玉龙，电子工业大学出版社，2009