高中数学课件 第二章 第13节 《定积分与微积分基本定理》

1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.1.定积分的性质(1)kf(x)dx＝；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝；(3)f(x)dx＝.f(x)dx(k为常数)f1(x)dx±f2(x)dxf(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)2.微积分基本定理一般地，如果F′(x)＝f(x)，且f(x)是区间[a，b]上的连续的函数,f(x)dx＝.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式.其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.F(b)－F(a)为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作，即f(x)dx＝.F(x)F(x)＝F(b)－F(a)1.定积分cosxdx＝()A.－1B.0C.1D.π解析：cosxdx＝sinx＝sinπ－sin0＝0.答案：B2.已知k＞0，(2x－3x2)dx＝0，则k＝()A.0B.1C.0或1D.以上均不对解析：(2x－3x2)dx＝2xdx－3x2dx＝x2－x3＝k2－k3＝0.∴k＝0或k＝1.又k＞0，∴k＝1.答案：B3.设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx的值等于()A.B.C.D.解析：∵f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，即f(x)＝x2＋x.答案：A解析：答案：2(e－1)5.曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成图形面积为.解析：答案：－ln2利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数.[特别警示](1)若函数f(x)为偶函数，且在区间[－a，a]上连续，则f(x)dx＝2f(x)dx；若f(x)是奇函数，且在区间[－a，a]上连续，则f(x)dx＝0.(2)如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，根据函数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可.求下列定积分：[思路点拨][课堂笔记](4)令f(x)＝3x3＋4sinx，x∈[－，]∵f(x)在[－，]上为奇函数，1.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形；(2)确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分的上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分的表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.2.几种典型的曲边梯形面积的计算方法(1)由三条直线x＝a、x＝b(a＜b)、x轴，一条曲线y＝f(x)[f(x)≥0]围成的曲、边梯形的面积(如图(1))：(2)由三条直线x＝a、x＝b(a＜b)、x轴、一条曲线y＝f(x)[f(x)≤0]围成的曲边梯形的面积(如图(2))：(3)由两条直线x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线y＝f(x)、y＝g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积(如图(3))：求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积.[思路点拨][课堂笔记]作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组得交点(1,1)，解方程组得交点(3,9)，因此，所求图形的面积为若将本例中“直线y＝x，y＝3x”改为“y＝x3－2x”，又该如何求解？解：由x3－2x＝x2⇒x＝－1,0,2，所以面积为S＝(x3－2x－x2)dx＋(x2－x3＋2x)dx＝定积分在物理中的应用，主要包括①求变速直线运动的路程；②求变力所做的功两部分内容.(1)要求一个物体在一段时间内的位移，只要求出其运动的速度函数，再利用微积分基本定理求出该时间段上的定积分即可，即物体做变速直线运动的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分v(t)dt.另外物体做变速直线运动的速度v，等于其加速度函数a＝a(t)在时间区间[a，b]上的定积分a(t)dt.(2)如果变力F(x)使得物体沿力的方向由x＝a运动到x＝b(a＜b)，则变力F(x)对物体所做的功W＝F(x)dx.列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[思路点拨][课堂笔记]因列车停车在车站时，速度为0.故应先求出速度的表达式，之后令v＝0，求出t.再根据v和t应用定积分求出路程.已知列车速度v0＝72km/h＝20m/s，列车制动时获得的加速度为a＝－0.4m/s2，设列车开始制动到经过t秒后的速度为v，则v＝v0＋adt＝20－0.4dt＝20－0.4t，令v＝0，得t＝50(s).设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s，则S＝vdt＝(20－0.4t)dt＝500(m)，所以列车应在进站前50s，以及离车站500m处开始制动.高考对该部分内容的常规考法为：利用微积分基本定理求已知函数在某一区间上的定积分或求曲边梯形的面积.09年广东高考以物理知识为载体，考查了定积分的几何意义以及考生运用所学知识分析问题和解决问题的能力，是高考对该部分内容考查的一个新方向.[考题印证](2009·广东高考)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A.在t0时刻，两车的位置相同B.t0时刻后，乙车在甲车前面C.在t1时刻，甲车在乙车前面D.t1时刻后，甲车在乙车后面【解析】路程S甲＝v(t)dt的几何意义为曲线v甲与t＝t1及t轴所围的区域面积，同理S乙＝v(t)dt的几何意义为曲线v乙与t＝t1及t轴所围的区域面积.由图易知S甲＞S乙，因而选C.【答案】C[自主体验]在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，若∈[0,1]，则图中阴影部分的面积S1与S2之和最小值为.解析：S1面积等于边长为t与t2矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S2的面积等于曲线y＝x2与x轴、x＝t，x＝1围成面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1－t)，即所以阴影部分面积S为∵S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－)＝0时，得t＝0，t＝.∴当t＝时，S最小，且最小值为S()＝.答案：1.(2009·福建高考)(1＋cosx)dx等于()A.πB.2C.π－2D.π＋2解析：答案：D2.(2010·开原模拟)若(2x＋)dx＝3＋ln2,则a的值为()A.6B.4C.3D.2解析：答案：D3.如图，阴影部分的面积为()解析：阴影部分的面积为答案：C4.设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0),0≤x0≤1，则x0的值为.解析：答案：5.y＝sinx(0≤x≤2π)与x轴所围成图形的面积是.解析：答案：46.在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为.试求：切点A的坐标及过切点A的切线方程.解：如右图.设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，得过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－.令y＝0，得x＝.即C(,0).设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形面积为S，即：所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.