弹塑性力学-第3章弹性与塑性应力应变关系详解

第3章弹性与塑性应力应变关系第3章弹性与塑性应力应变关系1.拉伸和压缩时的应力应变曲线2.弹塑性力学中常用的简化力学模型3.广义胡克定律4.特雷斯卡和米泽斯屈服条件5.塑性应力应变关系6.德鲁克公设和伊柳辛公设7.塑性本构关系的内在联系弹塑性力学静力学几何学物理学平衡微分方程几何方程物理方程应变与位移的关系应变协调方程方程应力应变关系本构方程方程弹塑性力学静力学几何学物理学物理方程应力应变关系本构方程方程韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线弹性极限屈服下限屈服上限强度极限强化段软化段弹性变形残余变形卸载3－1拉伸和压缩时的应力应变曲线低碳钢在单向拉伸时的典型应力应变曲线弹性极限屈服上限屈服下限比例极限塑性流动阶段强化阶段软化阶段卸载包辛格（Bauschinger）效应当应力超过屈服点后，拉伸（或压缩）应力的硬化将引起反向加载时压缩（或拉伸）屈服应力的弱化如果s+s=2s，则称为理想包辛格效应具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高，而在相反方向降低名义应力与真实应力在体积不可压缩的假设前提下拉伸（压缩）时的名义应力拉伸时的真实应力压缩时的真实应力0AP)1(APT)1(APT初始截面积变形后截面积荷载3－2弹塑性力学中常用的简化力学模型理想弹塑性模型：ABsOesseEE线性强化弹塑性模型：AsOBE1EsesseEE)(1线性强化刚塑性模型：AsOBssE理想刚塑性模型：AsOBs幂强化模型：=1On=1n=0n=1/2n=1/3nA3－3广义胡克定律各向同性材料的胡克(Hooke)定律(一维问题，1678)单向拉压纯剪切横向与纵向变形关系E——拉压弹性模量；G——剪切弹性模量；——泊松比广义胡克定律——对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理：考虑x方向的正应变：产生的x方向应变：产生的x方向应变：产生的x方向应变：叠加后得同理：即剪应变：物理方程：说明：1.方程表示了各向同性材料的应力与应变的关系，称为广义Hooke定律。也称为弹性问题物理方程。2.方程组在线弹性条件下成立。体积应变与体积弹性模量令：则：m称为平均应力;q称为体积应变广义胡克定律的其他表示形式物理方程：物理方程：用应变表示应力：或：各种弹性常数之间的关系广义胡克定律——应力偏量与应变偏量的关系用应力偏量与应变偏量表示用主应力偏量与主应变偏量表示Gseijij21Gsesese21332211用主应力差与主应变差表示说明，在弹性阶段，应变莫尔圆与应力莫尔圆成比例。用3个主应力差与3个主应变差表示说明，=，=G211313323221213131312312223－4特雷斯卡和米泽斯屈服条件塑性变形——当作用在物体上的外力卸去后，物体中没有完全恢复的那部分永久变形称为塑性变形。塑性力学——研究塑性变形和作用力之间的关系以及在塑性变形后物体内部应力分布规律的学科称为塑性力学。塑性力学问题的特点塑性力学问题有如下几个特点：(1)应力与应变之问题的关系（本构关系）是非线性的，其非线性性质与具体材料有关；(2)应力与应变之间没有一一对应的关系，它与加载历史有关；(3)在变形体中有弹性变形区和塑性变形区，而在求解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界线；(4)在分析问题时，需要区分是加载过程还是卸载过程。在塑性区，在加载过程中要使用塑性的应力应变关系，而在卸载过程中则应使用广义的胡克定律。屈服条件——屈服条件又称塑性条件，它是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的准则。在应力空间中，将从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限点（屈服应力点）连接起来就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面，这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈服条件。特雷斯卡(Tresca)条件(1864)当最大剪应力达到材料的某一定值时，材料就开始屈服，进入塑性状态。表示为max=k当123时可写作1-2=2k在主应力的次序未知的情况下，Tresca屈服条件应表示为：上式中至少一个等式成立时，材料就开始进入塑性变形。kkk222133221Tresca屈服条件参数常数k由试验确定。如由单拉试验，一般取k=s/2(有时取k=s/)。如由纯剪切试验，k=s。因此，按照Tresca屈服条件，材料的剪切屈服极限与拉伸屈服极限之间存在s=s/2。3Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)在三维应力空间中，1-2=2k是一对与平面的法线(等倾线)以及3轴平行的平面。因此，Tresca屈服条件的屈服面是由三对互相平行、垂直于平面的平面组成的正六角柱体表面。它与平面的截线（屈服线）是一个正六边形。它的外接圆半径是（内切圆半径是）。3/22k2/kTresca屈服条件的几何表示(屈服面)平面上的屈服轨迹O123Mises条件Tresca条件Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)3=0平面上的屈服轨迹Mises条件Tresca条件O12Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)123o应力空间屈服面对Tresca屈服条件的评价Tresca屈服条件是主应力的线性函数，对于主应力方向已知且不改变的问题，应用较方便，但忽略了中间主应力的影响，且屈服线上有角点，给数学处理带来了困难，没有考虑平均应力对屈服的影响。米泽斯(vonMises)屈服条件(1913)当应力强度达到一定数值时，材料进入塑性状态。Mises条件可看成为当形变比能达到一定值时，材料进入屈服状态。或认为只要应力偏张量的第二不变量达到某一数值时（或八面体剪应力）达到一定数值时，材料进入塑性状态。Mises屈服条件数学表达式22132322212s22222222)(6)()()(szxyzxyxzzyyxsi20323Ji或或其中按照Mises条件3ss213232221121GWs21323222103121323222121i2132322212)()()(61J应力强度、等效应力形变比能应力偏量张量第二不变量八面体（等倾面）上的剪应力Mises屈服条件几何表示在平面上，Mises屈服曲线为一圆。在3=0的平面上，Mises屈服曲线为一个以原点为中心，以静水压力m与广义剪应力i为长短轴的椭圆。在主应力空间，Mises屈服面为一以等倾线为轴的正圆柱体表面。Mises屈服条件的几何表示(屈服面)平面上的屈服轨迹Mises条件外切Tresca条件O123内接Tresca条件Mises屈服条件的几何表示(屈服面)3=0平面上的屈服轨迹O21Mises条件Tresca条件Tresca条件与Mises条件的比较Tresca条件与Mises条件的比较两种屈服条件的差别与确定常数的方法有关。若用单向拉伸时的屈服极限确定常数，则在纯剪应力状态下两种屈服条件相差最大，Mises条件所确定的最大剪应力比Tresca条件所确定的最大剪应力大15.5%。若用纯剪时的屈服极限确定常数，则在单向拉伸时两种屈服条件相差最大，用Mises条件所确定的最大拉应力比用Tresca条件所确定的最大拉应力小13.4%。3－5塑性应力应变关系在塑性变形阶段，应力与应变关系是非线性的，应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状态唯一地确定塑性应变状态。而且如果只知道最终的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，以这种关系为基础的理论称为增量理论。增量理论是塑性力学中的基本理论。罗德（Lode）的试验结果应力罗德参数与塑性应变增量罗德参数相等：pdpppppddddd313123131222pd由于得pd240cos32120cos32cos32321iiisss240cos32240cos120cos32120coscos32cos332211idpiidpiidpippppppdddsdesdesdeddsdesdesdeipippp23332211d的物理意义d为比例系数，它在塑性变形过程中，随着dip和i比值的变化而变化，但在变形的某一瞬间，应变偏量增量的每一分量与相对应的应力偏量分量的比值都相同为d。对于理想塑性材料，i=s，因此，比例系数d又可以写成在塑性变形的过程中，比例系数d不仅与材料的屈服极限有关，而且还和变形程度有关。ipiijpijspidsdeddd23,23莱维－米泽斯本构方程莱维－米泽斯流动法则莱维－米泽斯塑性本构关系的基本假设圣维南认为，在材料达到塑性状态后，应力和应变没有一一对应的关系，因而提出，在塑性变形的过程中，应力和应变的关系式应以增量形式给出，而塑性应变增量的主轴和应力偏量的主轴是重合的。这个见解为塑性本构关系的建立奠定了基础，塑性力学中的增量理论就是在这一假设的前提下发展起来的。在莱维－米泽斯理论中，包括了如下一些假设：(1)应变偏量增量与应力偏量成比例；(2)材料是不可压缩的；(3)材料是理想刚塑性的；(4)材料满足米泽斯屈服条件，即i=s。在莱维－米泽斯理论中，若已知三个正应力的值，便可确定deip（i=1,23）之间的比值，但还不能确定各应变偏量的具体数值。如果给出deip的值，则可求出si的值，但却求不出应力i的值。只有给出0的值后，才能求出i的值。普朗特－罗伊斯流动法则普朗特－罗伊斯本构方程考虑弹性应变的本构关系总应变偏量增量即展开后，为pijeijijdedededsGdsdeijijij2dGdddsGdsdedGdddsGdsdedGdddsGdsdezxxzxzzzzyzyzyzyyyxyxyxyxxx2,22,22,2普朗特－罗伊斯（L.Prandtl－A.Reuss）本构方程普朗特－罗伊斯经过推导，将比例系数d用变形比能dW表示，即得zxixzxzzizzyziyzyzyiyyxyixyxyxixxdWGddsdWGdsdedWGddsdWGdsdedWGddsdWGdsde2222223,2323,2323,23222232idWkdWd普朗特－罗伊斯本构方程设在加载阶段的某一瞬时，已求得物体内各点的ij、ij、ui，求在此基础上，给定体力增量dfi、ST上面力增量、Su上位移增量时，物体内部各点的应力增量dij、应变增量dij、位移增量dui。确定这些增量的基本方程组有：1）2）3）本构关系（理想弹塑性材料）弹性区ifdiud0,jiijdfdijjiijdudud,,210ijfijkkijijdEGdd2增量理论的基本方程及边值问题的提法塑性区4）5）此外，在弹塑性交界面上还应满足一定的连续条件和间断性条件。在给定加载历史时，可以对每时刻求出增量，然后用“积分”（累计）的方法得出应力和应变等分布