微分几何 陈维桓 绪论-第一章-第二章讲稿

1目录绪论................................................................................................1内容简介...................................................................................................................................1第一章预备知识..................................................................................2引言...........................................................................................................................................2§1.1三维欧氏空间中的标架.........................................................................................................2一、向量代数复习...................................................................................................................2二、标架...................................................................................................................................3三、正交标架流形...................................................................................................................3四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换...........................................................................3§1.2向量函数...............................................................................................................................4第二章曲线论......................................................................................6§2.1参数曲线...............................................................................................................................6§2.2曲线的弧长...........................................................................................................................8§2.3曲线的曲率和Frenet标架.................................................................................................9§2.4曲线的挠率和Frenet公式...............................................................................................13§2.5曲线论基本定理.................................................................................................................15§2.7存在对应关系的曲线偶......................................................................................................21§2.8平面曲线..............................................................................................................................21绪论几何学是数学中一门古老的分支学科.几何学产生于现实生产活动.“geometry”就是“土地测量”.Pythagoras定理和勾股定理(《周髀算经》).数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统.以欧几里德(Euclid)的《几何原本》(Elements)为代表.《自然辩证法》和《反杜林论》：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入.对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann).克莱因(Klein)关于变换群的观点.E.Cartan的活动标架方法.微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用.内容简介第一章：预备知识.第二章：曲线论.第三章至第五章：曲面论.第六章：曲面上的曲线，非欧几何.第七章*：活动标架和外微分.2第一章预备知识本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数计划学时：3学时难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群引言为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数()yfx的图像是xy平面上的一条曲线，二元函数(,)zfxy的图像是空间中的一张曲面.采用参数方程，空间一条曲线可以表示成()(),(),()rrtxtytzt.这是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数.所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系.所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁.§1.1三维欧氏空间中的标架一、向量代数复习向量即有向线段：AB，r，r.向量相等的定义：大小和方向.零向量：0，0.反向量：a.向量的线性运算.加法：三角形法则，多边形法则.向量的长度.三角不等式.数乘.内积的定义：:||||cos(,)ababab外积的定义.二重外积公式：()()()abcacbbca；()()()abcacbabc内积的基本性质：对称性，双线性，正定性.外积的基本性质：反对称性，双线性.()yfx,()xfxxyOxyz(,)zfxyO,,(,)xyfxy(,)xybaab3二、标架仿射标架;,,OOAOBOC.定向标架.正交标架(即右手单位正交标架)：;,,Oijk.笛卡尔直角坐标系.坐标.内积和外积在正交标架下的计算公式.两点距离公式.三维欧氏空间3E和3R.三、正交标架流形取定一个正交标架;,,Oijk(绝对坐标系).则任意一个正交标架123;,,Peee被P点的坐标和三个基向量123,,eee的分量唯一确定：123111121322122233313233,,,.OPaiajakeaiajakeaiajakeaiajak(1.6)其中123(,,)aaaa可以随意取定，而(,1,2,3)ijaij应满足31ikjkijkaa，(1.7)即过渡矩阵ijaA是正交矩阵.又因为123,,eee是右手系，det1A，即矩阵111213212223313233(3)aaaAaaaSOaaa(1.8,1.9)是行列式为1的正交矩阵.我们有一一对应：{正交标架}3(3)ESO，123;,,(,)PeeeaA.所以正交标架的集合是一个6维流形.四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换空间任意一点Q在两个正交标架;,,Oijk和123;,,Peee中的坐标分别为(,,)xyz和QOPki1ej2e3e4(,,)xyz，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式：111213121222323132333,,.xaxayazayaxayazazaxayaza(1.10)如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这种运动称为刚体运动.在刚体运动33:EE下，若将正交标架;,,Oijk变为123;,,Peee，则空间任意一点(,,)Qxyz和它的像点(,,)Qxyz(均为在;,,Oijk中的坐标)之间的关系式为111213121222323132333,,.xaxayazayaxayazazaxayaza(1.11)定理1.13E中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于3E中的任意两个正交标架，必有3E的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架.空间3E到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换33:EE称为等距变换.刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动.一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(复合映射).仿射坐标变换与仿射变换.§1.2向量函数所谓的向量函数是指从它的定义域D到3R中的映射3::()rprpRD.设有定义在区间[,]ab上的向量函数()((),(),()),rtxtytztatb.如果(),(),()xtytzt都是t的连续函数，则称向量函数()rt是连续的；如果(),(),()xtytzt都是t的连续可微函数，则称向量函数()rt是连续可微的.向量函数()rt的导数和积分的定义与数值函数的导数和积分的定义是相同的，即0000()()limtttrttrtdrdttQO()POki1ej2e3e()QQ50000000()()()()()()lim,,txttxtyttytzttztttt000(),(),()xtytzt，0(,)tab，(2.6)01()lim()(),(),()nbbbbiiaaaairtdtrttxtdtytdtztdt，(2.7)其中01natttb是区间[,]ab的任意一个分割，1iiittt，1[,]iiittt，并且max|1,2,,itin.(由向量加法和数乘的定义可以得到)向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性.由(1.6)可得()()()(),()()()()()()atbtatbttattattat.定理2.1(Leibniz法则)假定(),(),()atbtct是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、混合积的导数有下面的公式：(1)()()()()()()atbtatbtatbt；(2)()()()()()()atbtatbtatbt；(3)(),(),()(),(),()(),(),()(),(),()