高考数学2011萃取精华试题(9)

2011高考数学萃取精华30套（9）1.冀州一模20、已知数列{}na满足11a，212a，且2[3(1)]22[(1)1]nnnnaa，（n=1,2,3,）.（1）求3456,,,aaaa的值及数列{}na的通项公式；（2）令212nnnbaa，记数列{}nb的前n项的和为nT，求证：nT3.20、解：（1）分别令n=1，2，3，4可求得3456113,,5,48aaaa………2分当n为奇数时，不妨设n=2m1，*mN，则21212mmaa，21{}ma为等差数列，21ma=1+2(m1)=2m1,即nan。………4分当n为偶数时，设n=2m，*mN，则22220mmaa，2{}ma为等比数列，12111()222mmma，故21()2nna，综上所述，**2(21)1()2)2nnnnmmNanmmN（………6分（2）2121(21)2nnnnbaan231111135(21)2222nnTn………8分2311111113(23)(21)22222nnnTnn两式相减：2311111112()(21)222222nnnTn1111(1)1142(21)12212nnn………10分2332nnnT，故3nT………12分注：若求出3456,,,aaaa猜想出通项（1）问给2分，在上面基础上（2）问解答正确给8分。21、已知、分别是直线xy33和xy33上的两个动点，线段AB的长为32，是AB的中点．（1）求动点的轨迹C的方程；（2）过点)0,1(Q任意作直线l（与轴不垂直），设l与（1）中轨迹C交于MN、两点，与轴交于点．若RMMQ，RNNQ，证明：为定值．21、解：（1）设),(yxP，),(11yxA，),(22yxB．∵是线段AB的中点，∴1212,2.2xxxyyy………2分∵AB、分别是直线33yx和33yx上的点，∴1133yx和2233yx．∴121223,23.3xxyyyx…………4分又23AB，∴12)()(221221yyxx．…………5分∴22412123yx，∴动点的轨迹C的方程为2219xy．…………6分（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为(1)ykx．设),(33yxM、),(44yxN、),0(5yR，则MN、两点坐标满足方程组.19,)1(22yxxky消去并整理，得2222(19)18990kxkxk，…………8分∴22439118kkxx，①23429919kxxk．②∵MQRM，∴),()0,1(),0(),(33533yxyyx即.,)1(35333yyyxx∴)1(33xx．∵l与轴不垂直，∴13x，∴331xx，同理441xx．………10分∴443311xxxx34343434()21()xxxxxxxx．将①②代入上式可得49．…………12分22、已知0,1aa且函数()log(1)xafxa。（1）求函数()fx的定义域，并判断()fx的单调性；（2）若()*,lim;fnnnanNaa求（3）当ae（为自然对数的底数）时，设()2()(1)(1)fxhxexm，若函数()hx的极值存在，求实数的取值范围以及函数()hx的极值。22、解：（Ⅰ）由题意知10xa当01()01()0afxafx时，的定义域是（，）；当时，的定义域是（，）lnlog11aaegxxxx-aaf(x)=aa当01(0,).10,0,xxaxaa时，因为故f(x)0,所以f(x)是减函数当1(,0),10,0,()0,()xxaxaafxfx时，因为故所以是减函数….（4分）（Ⅱ）因为()()log(1),1nfnnafnaaa所以由函数定义域知1na0,因为n是正整数，故0a1.所以()11limlimfnnnnnnaaaaaaa…………6分（Ⅲ）22)(1)(0),()(21)xxhxexmxhxexxm（所以令2()0,210,00hxxxmm即由题意应有，即①当m=0时，()0hx有实根1x，在1x点左右两侧均有()0hx故无极值②当01m时，()0hx有两个实根121,1xmxm当x变化时，()hx、()hx的变化情况如下表所示：1(,)x1x12(,)xx2x2(,0)x()hx+0-0+()hx↗极大值↘极小值↗()hx的极大值为12(1)mem，()hx的极小值为12(1)mem③当1m时，()0hx在定义域内有一个实根，1xm同上可得()hx的极大值为12(1)mem…………10分综上所述，0m（，）时，函数()hx有极值；当01m时()hx的极大值为12(1)mem，()hx的极小值为12(1)mem当1m时，()hx的极大值为12(1)mem…………12分温州三模21．（本题满分15分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1），且过点A（2，t），（I）求t的值；（II）若点P、Q是抛物线C上两动点，且直线AP与AQ的斜率互为相反数，试问直线PQ的斜率是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由.转发文章赚钱．（本小题满分１5分）解：（I）由条件得抛物线方程为24xy=……………………………………………………3分∴把点A代入24xy=，得1t………………………………………6分（II）设直线AP的斜率为k，AQ的斜率为k，则直线AP的方程为)12()2(1kkx：y，xky即联立方程：2(21)4ykxkxyì=--ïïíï=ïî消去y，得：0)12(442kkxx…………………………………………9分24)12(2)12(4kkxkxxppA144)12(2kkkkxypp同理，得144,242kkykxQq………………………………………………12分188kkxxyykpQPqPQ是一个与k无关的定值。………………………………………15分22．（本题满分15分）已知函数2()ln2afxxx，（I）若1a，证明()fx没有零点；（II）若1()2fx恒成立，求a的取值范围.22．（本小题满分15分）解：（I）)0(ln21)(12xxxxfa时xxxf1)('…………………………………………………………………………………3分由0)('xf得1x可得)(xf在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增……………………………5分故)(xf的最小值021)1()(minfxf，所以)(xf没有零点………………………………7分（II）方法一：xaxxaxxf11)('2………………………………………………………………9分（i）若0a时，令0)('xf，则1xa，故)('xf在10,a上单调递减，在1,a上单调递增，故)(xf在0,上的最小值为aafln2121)1(，要使解得21)(xf恒成立，只需21ln2121a，得1a…………………………………12分（ii）若0a，0)('xf恒成立，)(xf在0,是单调递减，02)1(af，故不可能21)(xf恒成立…………………………………………………………………….14分综上所述，1a……………………………………………………………………………….15分方法二：由21)(xf恒成立，得2ln21xxa恒成立………………………………………….9分设)0(ln21)(2xxxx，则3ln4)('xxx……………………………………………….11分由0)('x得1x故)(x的最大值为1)1()(maxx………………………….13分要使)(xa恒成立，只需1a…………………………………………………………….15分湛江二模20．（本小题满分14分）已知抛物线1C的方程为)0(2aaxy，圆2C的方程为5)1(22yx，直线mxyl2:1（0m）是1C、2C的公切线．F是1C的焦点．（1）求m与a的值；（2）设A是1C上的一动点，以A为切点的1C的切线l交y轴于点B，设FBFAFM，证明：点M在一定直线上．20．（本小题满分14分）解：（1）由已知，圆2C：5)1(22yx的圆心为)1,0(2C，半径5r．……1分由题设圆心到直线mxyl2:1的距离22)1(2|1|md．……………………3分即5)1(2|1|22m，解得6m（4m舍去）．…………………………4分设1l与抛物线的相切点为),(000yxA，又axy2/，……………………………5分得axax12200，ay10．………………………………………………6分代入直线方程得：621aa，∴61a所以6m，61a．……………………………………………………………7分（2）由（1）知抛物线1C方程为261xy，焦点)23,0(F．………………………8分设)61,(211xxA，由（1）知以A为切点的切线l的方程为211161)(31xxxxy．…………………………………………………………10分令0x，得切线l交y轴的B点坐标为)61,0(21x……………………………11分所以)2361,(211xxFA，)2361,0(21xFB，……………………………12分∴)3,(1xFBFAFM……………………………………………………13分因为F是定点，所以点M在定直线23y上．………………………………14分21．（本小题满分14分）设函数xxaxxfln)(，其中a为常数．（1）证明：对任意Ra，)(xfy的图象恒过定点；（2）当1a时，判断函数)(xfy是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（3）若对任意],0(ma时，)(xfy恒为定义域上的增函数，求m的最大值．21．（本小题满分14分）解：（1）令0lnx，得1x，且1)1(f，所以)(xfy的图象过定点)1,1(；……………………………………………2分（2）当1a时，xxxxfln)(，222/1lnln11)(xxxxxxf………4分令1ln)(2xxxg，经观察得0)(xg有根1x，下证明0)(xg无其它根．xxxg12)(/，当0x时，0)(/xg，即)(xgy在),0(上是单调递增函数．所以0)(xg有唯一根1x；且当)1,0(x时，0)()(2/xxgxf，)(xf在)1,0(上是减函数；当),1(x时，0)()(2/xxgxf，)(xf在),1(上是增函数；…………………………………7分所以1x是)(xf的唯一极小值点．极小值是111ln1)1(f．………………8分（3）222/lnln1)(xaxaxxxaaxf，令axaxxhln)(2由题设，对任意],0(ma，有()0hx≥，),0(x，又xaxaxxaxxh)2)(2(22)(2/……………………………………10分当)2,0(ax时，0)