高考数学复习点拨极值问题易错点辨析

极值问题易错点辨析一、错误认识一：极大值一定比极小值大在求解极值问题的过程中，有些同学因为受“极大值”、“极小值”字面含义的影响，就在潜意识里形成了这样一种认识：极大值一定比极小值大.事实上，这种认识是错误的.请看下面的例子.例1求函数()(0)pfxxpx的极值．解：22()11ppfxxpxxx，令()0fx，得xp．当x变化时，()()fxfx，变化状态如下表：x()p，∞p(0)p，(0)p，p()p，∞()fx00()fx2p2p从上表可以看出，当xp时，()fx有极大值2p；当xp时，()fx有极小值2p．评注：从本例可知，函数的极大值不一定比极小值大.事实上，极值只是相对于一点附近的局部性质（这与最值不同，最值是相对整个定义域内或所研究问题的整体的性质）.理解这个问题时要紧扣极值的概念，并通过一些例子加深对该问题的认识.用几何画板能够作出函数()(0)pfxxpx的图象，如图所示，我们可以直观地看出，极大值反而比极小值小．二、错误认识二：极大（小）值点是唯一的由于平时所做的练习题中，命题者为了降低题目难度，常把函数的极大值和极小值设计成唯一的，这样就导致有些同学认为函数的极大值和极小值是唯一的，其实不然，请看下例.例2求函数1()cos(2ππ)2fxxxx的极值．解：1()sin2fxx，令()0fx，2ππx∵，11π6x∴，7π5ππ666，，．可以得到，11π6x时，113()π122fx最大值；7π6x时，73()π122fx最小值；π6x时，π3()122fx极大值；5π6x时，53()π122fx最小值．三、错误认识三：导数为0的点一定是极大（小）值点有些同学通过求解一部分极值问题，总结出这样的规律：导数为0的点就是极大（小）值点.这是一种错误的思维定势，如下面的例子.例3求函数23()(1)1fxx的极值．解：22()6(1)fxxx，令()0fx，得123101xxx，，．当x变化时，()()fxfx，变化状态如下表：x(1)，∞1(10)，0(01)，１(1)，∞()fx00０()fx10１从上表可以看出，1x和1x都不是函数的极值点．以上列举了同学们在解题中常出现的三种错误认识，通过对这些错误认识的辨析，我们认识到，在解题中既要准确把握定义，又不能以偏概全.对于平时自己出现的某些模糊认识，要经常翻看课本，回顾概念，并养成跟同学讨论的习惯，还可以结合一些特例，或借助计算机作图对有关概念进行更深入的理解和把握.广州美甲学校峈奣尛