高考数学复习点拨点到直线的距离公式及其应用

点到直线的距离公式及其应用一、知识要点1．点00()Pxy，到直线xa的距离0dxa；点00()Pxy，到直线yb的距离0dyb；2．点00()Pxy，到直线0lAxByC：的距离0022AxByCdAB；3．点00()Pxy，到直线lykxb：的距离0021kxybdk；4．利用点到直线的距离公式，可求得两平行线110lAxByC：与22120()lAxByCCC间的距离1222CCdAB．推导方法如下：由于AB，不同时为零，不妨设0A，令0y，得直线1l与x轴的交点10CPA，，点P到直线2l的距离12122222CACCCAdABAB即为两平行线间的距离；当0A时，公式1222CCdAB也成立．二、应用指南要牢记上述公式的特点及应用条件，重点掌握公式0022AxByCdAB及其应用；还要会利用所得到的方程求点的坐标或求直线方程中的参数、求轨迹方程；有些问题根据图形的几何性质，抓住点到直线的距离这一突破口，就能找到解题捷径．平行线间的距离可转化为点到直线的距离，也可利用平行线间的距离公式求解．三、解题指导1．求距离例1已知(23)(21)(02)ABC，，，，，，求ABC△的面积．分析：欲求ABC△的面积，可先求出直线AB的方程，再求点C到直线AB的距离．解：由两点式，可求出直线AB的方程为：240xy，点C到直线AB的距离等于ABC△中AB边上的高h，0224855h，又25AB，182ABCSABh△·．2．求点的坐标例2求直线220lxy：上到直线230lxy：的距离为5的点的坐标．解：设()Pab，为直线l上到l的距离为5的点，则220ab，22ba，所以点P的坐标为(22)aa，．由点到直线的距离公式，得44355aa，125a或25．所求点的坐标为121455，或2655，．3．求方程利用点到直线的距离可确定直线方程中的参数，从而求得直线方程；利用点到直线的距离列方程可求动点的转迹方程．例3已知正方形的中心为直线220xy和10xy的交点，正方形一边所在的直线为350xy，求其他三边所在直线的方程．解：由方程组22010xyxy，的解，可得正方形的中心为(10)，．设正方形相邻两边的方程为30xyp和30xyq．因为中心(10)，到四边距离相等，故有3151101010pq．12123975ppqq，，，（舍去）．其他三边所在直线的方程分别为330xy，390xy，370xy．例4点()Pxy，到定点(30)M，的距离与到直线433x的距离之比为3:2，求点()Pxy，的轨迹方程．解：由题意，得22(3)32433xyx．化简，得所求的轨迹方程为2244xy．4．求最值（创新应用型）例5已知51260xy，求22(4)xy的最小值．解：22(4)xy的最小值是点(40)P，到直线51260xy的距离22540604013512d，所求最小值为4013．四、感悟与体验点到直线的距离公式是解析几何常用的基本公式之一．解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位置关系等都与点到直线的距离有关，应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题．随着对解析几何的深入学习，我们对点到直线的距离公式及其应用会有更深更广的认识．广州美甲学校峈奣尛