高考数学导数复习题1

高考数学导数复习题1第十四章第一讲选修2一、选择题(8×5＝40分)1．设f(x)在x＝x0处可导，且limΔx→0f(x0＋3Δx)－f(x0)Δx＝1，则f′(x0)＝()A．1B．0C．3D.13解析：因为limΔx→0f(x0＋3Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0f(x0＋3Δx)－f(x0)3Δx·3＝3f′(x0)＝1，所以f′(x0)＝13.故选D.2．在下列求导运算中，正确的是()A．(sinx＋3x3)′＝(sinx)′＋(3)′(x3)′B．(sinxx)′＝(sinx)′－(x)′x2C．(cotx)′＝(cosx)′sinx－cosx·(sinx)′sin2xD．(cosxx2)′＝(cosx)′x2－cosx·(x2)′x2解析：∵(cotx)′＝(cosxsinx)′＝(cosx)′sinx－cosx(sinx)′sin2x；故选C.3．(2009·保定市高三年级调研)曲线y＝13x3－x在点(1，－23)处的切线的斜率为()A．－23B．0C．1D．－1答案：B解析：∵y＝13x3－x，∴y′＝x2－1，∴y′|x＝1＝1－1＝0，故选B.4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝13t3－32t2＋2t，那么速度为零的时刻是()A．0秒B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末解析：根据导数的物理意义，s′＝t2－3t＋2，令s′＝0，得t＝1或t＝2.故选D.5．(2009·全国Ⅰ)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－2解析：对y＝ln(x＋a)求导得y′＝1x＋a，设切点为(m，n)，则切线斜率为1m＋a＝1，m＋a＝1，n＝ln(m＋a)＝ln1＝0，再由(m，n)在直线y＝x＋1上得m＝－1，从而得a＝2.故选B.6．(2009·全国Ⅱ)曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线方程为()A．x－y－2＝0B．x＋y－2＝0C．x＋4y－5D．x－4y－5＝0答案：B解析：∵y′＝(x2x－1)′＝2x－1－2x(2x－1)2＝－1(2x－1)2，∴y′|x＝1＝－1，切点坐标为(1,1)，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.7．若函数f(x)＝13x3－f′(1)x2＋x＋5，则f′(1)的值为()A．－2B．2C．－23D.23答案：D解析：由已知，得f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，则f′(1)＝1－2f′(1)＋1，故f′(1)＝23.总结评述：分清楚函数式中常量与变量，通过求导函数，再给变量x赋值1，最后解出导函数在x＝1处的函数值．8．(2009·东北四校质检)若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－3)x＋34上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A．[0，π2)B．[0，π2)∪[2π3，π)C．[2π3，π)D．[0，π2)∪(π2，2π3]答案：B解析：∵y′＝3x2－6x＋3－3＝3(x－1)2－3≥－3，即tanα≥－3，又α∈[0，π)，∴α∈[0，π2)∪[2π3，π)．故选B.二、填空题(4×5＝20分)9．(2009·北京)设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．答案：－1解析：依题知f′(1)＝lim△x→0f(1＋△x)－f(1)△x＝1，∵f(x)是偶函数，∴f′(－1)＝lim△x→0f(－1＋△x)－f(－1)△x＝lim△x→0f(1－△x)－f(1)－△x＝－lim△x→0f(1－△x)－f(1)－△x＝－f′(1)＝－1.10．(2009·湖北)已知函数f(x)＝f′(π4)cosx＋sinx，则f(π4)的值为________．答案：1解析：∵f(x)＝f′(π4)cosx＋sinx，∴f′(x)＝－f′(π4)sinx＋cosx，∴f′(π4)＝－f′(π4)sinπ4＋cosπ4，∴f′(π4)＝2－1，从而有f(π4)＝(2－1)cosπ4＋sinπ4＝1.11．(2009·福建)若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．答案：(－∞，0)解析：f′(x)＝3ax2＋1x，∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)＝0有解，即3ax2＋1x＝0有解，a＝－13x3，∵x＞0，∴－13x3＜0，∴a＜0.12．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f′(x)0，g′(x)0，则x0时，应该有f′(x)____________0，g′(x)____________0.答案：解析：由已知知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，由图象对称性可知f′(x)0，g′(x)0.三、解答题(4×10＝40分)13．求下列函数在x＝x0处的导数．(1)f(x)＝cosx·sin2x＋cos3x，x0＝π3；(2)f(x)＝ex1－x＋ex1＋x，x0＝2；(3)f(x)＝x－x3＋x2lnxx2，x0＝1.解析：(1)∵f′(x)＝[cosx(sin2x＋cos2x)]′＝(cosx)′＝－sinx，∴f′(π3)＝－32.(2)∵f′(x)＝(2ex1－x)′＝(2ex)′(1－x)－2ex(1－x)′(1－x)2＝2(2－x)ex(1－x)2，∴f′(2)＝0.(3)∵f′(x)＝(x－32)′－x′＋(lnx)′＝－32x－52－1＋1x，∴f′(1)＝－32.14．求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离．解析：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2x－y＋3＝0，即斜率是2，则y′|x＝x0＝[12x－1·(2x－1)′]|x＝x0＝22x－1|x＝x0＝22x0－1＝2.解得x0＝1，所以y0＝0，即点P(1,0)，点P到直线2x－y＋3＝0的距离为|2－0＋3|22＋(－1)＝5，∴曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是5.15．设函数f(x)＝ax＋1x＋b(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任意一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．解析：(1)解：f′(x)＝a－1(x＋b)2，于是2a＋12＋b＝3，a－1(2＋b)2＝0.解得a＝1，b＝－1，或a＝94，b＝－83.因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋1x－1.(2)证明：在曲线上任取一点(x0，x0＋1x0－1)，由f′(x0)＝1－1(x0－1)2知，过此点的切线方程为y－x20－x0＋1x0－1＝[1－1(x0－1)2](x－x0)．令x＝1，得y＝x0＋1x0－1，切线与直线x＝1的交点为(1，x0＋1x0－1)；令y＝x，得y＝2x0－1，切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)；直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为S＝12|x0＋1x0－1－1||2x0－1－1|＝12|2x0－1||2x0－2|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2.16．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)．(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的最大值．解析：(1)因为f′(x)＝(e－x)′＝－e－x，所以切线l的斜率为－e－t.故切线l的方程为y－e－t＝－e－t(x－t)．即e－tx＋y－e－t(t＋1)＝0.(2)令y＝0得，x＝t＋1，又令x＝0，得y＝－e－t(t＋1)．所以S(t)＝12(t＋1)e－t(t＋1)＝12(t＋1)2e－t.从而S′(t)＝12e－t(1－t)(t＋1)．∵当t∈(0,1)时，S′(t)＞0，当t∈(1，＋∞)时，S′(t)＜0，所以S(t)的最大值为S(1)＝2e.