高考数学总复习5

九、直线、平面、简单多面体1.计算异面直线所成角的关键是平移（补形）转化为两直线的夹角，或建立空间坐标系转化为空间向量的夹角计算(2222||()aaxyz、121212(,,)abxxyyzz、121212abxxyyzz、111(,,)()axyzR、121212//(0),,,()abbxxyyzzR,1212120abxxyyzz.特别：111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz,则ABOBOA222(,,)xyz-111(,,)xyz=212121(,,)xxyyzz.121212222222111222cos,xxyyzzabxyzxyz，2222121212||()()()()ABABxxyyzz2.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法(直线上向量与平面法向量夹角的余角)，三余弦公式(最小角定理，12coscoscos)，或先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解.注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等斜线在平面上射影为角的平分线.3.计算二面角的大小主要有：定义法(先作其平面角后计算大小)、公式法(cosSS影原)、向量法(两平面法向量的夹角)、等价转换法等等.二面角平面角的主要作法有：定义法(取点、作垂、构角)、三垂线法(两垂一连，关键是第一垂(过二面角一个面内一点，作另一个面的垂线))、垂面法.4.计算空间距离的主要方法有：定义法(先作垂线段后计算)、等积法、转换法(平行换点、换面)等.5.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，模式是：线线关系线面关系面面关系，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理及其逆定理)的桥梁作用.注意：书写证明过程需规范.特别声明：①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化.②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化(构造)为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等)中问题，并获得去解决.③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.6.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.如长方体中：对角线长222labc，棱长总和为4()abc，全(表)面积为2()abbcca，(结合2222()222abcabcabbcca可得关于他们的等量关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式)，222coscoscos2(1)；如三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等(侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心.如正四面体和正方体中：7.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等.注意：补形：三棱锥三棱柱平行六面体分割：三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是.8.多面体是由若干个多边形围成的几何体．棱柱和棱锥是特殊的多面体．正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．关于多面体的概念间有如下关系：{多面体}{简单多面体}{凸多面体}{正多面体}；{凸多面体}{棱柱}{直棱柱}{正棱柱}{正方体}；{凸多面体}{棱锥}{正棱锥}{正四面体}．欧拉公式(V＋F一E＝2)是简单多面体的重要性质，在运用过程中应重视“各面的边数总和等于各顶点出发的棱数总和、等于多面体棱数的两倍”．“简单多面体各面的内角总和是(V-2)×3600”.过一个顶点有n条棱，每个面是m边形的一般方法是什么？10．球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径)的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．注：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”.球体积公式343VR，球表面积公式24SR，是两个关于球的几何度量公式．它们a33a36a3212Va63a1arccos33arccos3都是球半径及的函数．解决球的相关问题务必注意球的几何性质(尤其是“球的半径、球心截面距、小圆半径构成直角三角形”；球与多面体相切或相接时，组合体的特殊关联关系).十、排列、组合和概率1.排列数mnA、组合数mnC中,1,0,nmnmnm、N.(1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!mnnAnnnnmmnnm；!(1)(2)21nnAnnnn.(2)组合数公式(1)(1)!()(1)21!!mmnnmmAnnnmnCmnmmmnmA；mmnnAmC！.(3)组合数性质：(),mnmnnCCmn111()mmmnnnCCCmn,11kknnkCnC,1121rnrnrrrrrrCCCCC.2.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．3.解排列组合问题的规律是(优限法和间接法)：相邻问题捆绑法；不邻(相间)问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序问题用除法(组合法)；选取问题先选后排法；至多至少问题间接法，特别地还有隔板法(什么时候用？)、字典法、构造法等.4.(1)二项式定理：011()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb，其中各系数就是组合数rnC，它叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项1rnrrrnTCab.某项“加数b”的指数该项的“项数减去1的差”，也可看成组合数的上标.(2)二项式展开式中二项式系数(组合数)的性质：对称性、等距性、单调最值性和01rnnnCCC2nnnC.（3）应用“赋值法”同样可得相关性质或寻求二项式展开式中“奇次(数)项”“偶次(数)项”的系数和.如02413512nnnnnnnCCCCCC，奇(偶)次项系数和1[(1)(1)]2ff(1[(1)(1)]2ff).注意：二项式展开式中区分“二项式系数、项的系数”，寻求其中项的系数的最大值是将相邻两项的系数构建不等式进行.二项式的应用主要是进行应用其前几项近似计算、整除性计算或证明、应用其首尾几项进行放缩.5.概率的计算公式：(1)等可能事件的概率计算公式：()()()mcardApAncardI；(2)互斥事件的概率计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)；(3)对立事件的概率计算公式是：P(A)=1－P(A)；(4)独立事件同时发生的概率计算公式是：P(A•B)＝P(A)•P(B)；(5)独立事件重复试验的概率计算公式是：()(1)kknknnPkCPP(是二项展开式[(1－P)+P]n的第(k+1)项).注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件.事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件.