高考数学总复习经典测试题解析版7.1不等关系与不等式

7.1不等关系与不等式一、选择题1.已知2log3.6,a4log3.2,b4log3.6,c则()A.abcB.acbC.bacD.cab解析因为1a,,bc都小于1且大于0,故排除C,D;又因为,bc都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以bc,故选B.答案B2．设0ba1，则下列不等式成立的是()A．abb21B．12logb12loga0C．2b2a2D．a2ab1解析：取a＝12，b＝13验证可得．答案：C3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()．A．a＞b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3解析A项：若a＞b＋1，则必有a＞b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但不能推出a＞b＋1，故a＞b＋1是a＞b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足a＞b－1，反之，由a＞b－1不能推出a＞b；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但a＞b不成立；D项：a＞b是a3＞b3的充要条件，综上知选A.答案A4．设a2，A＝a＋1＋a，B＝a＋2＋a－2，则A、B的大小关系是()A．ABB．ABC．A≥BD．A≤B解析A2＝2a＋1＋2a2＋a，B2＝2a＋2a2－4，显然A2B2，选A.答案A5．若a＞0，b＞0，则不等式－b＜1x＜a等价于()．A．－1b＜x＜0或0＜x＜1aB．－1a＜x＜1bC．x＜－1a或x＞1bD．x＜－1b或x＞1a解析由题意知a＞0，b＞0，x≠0，(1)当x＞0时，－b＜1x＜a⇔x＞1a；(2)当x＜0时，－b＜1x＜a⇔x＜－1b.综上所述，不等式－b＜1x＜a⇔x＜－1b或x＞1a.答案D6．已知ab≠0，那么ab＞1是ba＜1的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析ab＞1即a－bb＞0，所以a＞b＞0，或a＜b＜0，此时ba＜1成立；反之ba＜1，所以a－ba＞0，即a＞b，a＞0或a＜0，a＜b，此时不能得出ab＞1.答案A7．若a、b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()．A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2abC.1a＋1b＞2abD.ba＋ab≥2解析对A：当a＝b＝1时满足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以A错；对B、C：当a＝b＝－1时满足ab＞0，但a＋b＜0，1a＋1b＜0，而2ab＞0，2ab＞0，显然B、C不对；对D：当ab＞0时，由均值定理ba＋ab＝2ba·ab＝2.答案D二、填空题8．若a1a2，b1b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．解析(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)0.答案a1b1＋a2b2a1b2＋a2b19．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤ay＞bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．解析令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x＞y，a＞b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y.因此①不成立．又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by.因此③也不正确．又∵ay＝3－3＝－1，bx＝2－2＝－1，∴ay＝bx.因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④成立．答案②④10．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)．解析∵z＝－12(x＋y)＋52(x－y)，∴3≤－12(x＋y)＋52(x－y)≤8，∴z∈[3,8]．答案[3,8]11．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则2α－β的取值范围是________．解析∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π＜2α＜π，－π2＜－β＜π2，∴－3π2＜2α－β＜3π2，又∵2α－β＝α＋(α－β)＜α＜π2，∴－3π2＜2α－β＜π2.答案－3π2，π212.设a＞b＞1，0c，给出下列三个结论：①ca＞cb；②ca＜cb；③log()log()baacbc，其中所有的正确结论的序号是.答案①②③三、解答题13．已知a0，b0，试比较M＝a＋b与N＝a＋b的大小．解析∵M2－N2＝(a＋b)2－(a＋b)2＝a＋b＋2ab－a－b＝2ab0，∴MN.14．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．解析由题意，得a－c＝f，4a－c＝f，解得a＝13[f－f，c＝－43f＋13f所以f(3)＝9a－c＝－53f(1)＋83f(2)．因为－4≤f(1)≤－1，所以53≤－53f(1)≤203，因为－1≤f(2)≤5，所以－83≤83f(2)≤403.两式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范围是[－1,20]．15．已知a∈R，试比较11－a与1＋a的大小．解析11－a－(1＋a)＝a21－a.①当a＝0时，a21－a＝0，∴11－a＝1＋a.②当a＜1且a≠0时，a21－a＞0，∴11－a＞1＋a.③当a＞1时，a21－a＜0，∴11－a＜1＋a.综上所述，当a＝0时，11－a＝1＋a；当a＜1且a≠0时，11－a＞1＋a；当a＞1时，11－a＜1＋a.16．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.解析(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝1xy，logba＝1x，logcb＝1y，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．