高考数学总复习经典测试题解析版7.2一元二次不等式及其解法

7.2一元二次不等式及其解法一、选择题1．不等式x－2x＋1≤0的解集是()A．(－∞，－1)∪(－1,2]B．(－1,2]C．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D．[－1,2]解析∵x－2x＋1≤0⇔x＋x－，x＋1≠0⇔－1≤x≤2，x≠－1，∴x∈(－1,2]．答案B2.若集合{},{}xAxxBxx，则AB（）A.{}xxB.{}xxC.{}xxD.{}xx解析因为集合{},{}AxxBxx,所以AB{}xx,选B.答案B3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是－12，－13，则不等式x2－bx－a＜0的解集是()．A．(2,3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.13，12D.－∞，13∪12，＋∞解析由题意知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋－13＝ba，－12×－13＝－1a.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．答案A4.已知全集U为实数集R，集合A＝xx＋1x－m0，集合∁UA＝{y|y＝x13，x∈[－1,8]}，则实数m的值为()A．2B．－2C．1D．－1解析集合∁UA＝y|y＝x13，x∈[－1，8]＝[－1,2]，故不等式x＋1x－m0，[来源:学。科。网]即不等式(x＋1)(x－m)0的解集为(－∞，－1)∪(m，＋∞)，所以m＝2.答案A5．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为()．A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)解析根据给出的定义得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)＜0，则(x＋2)(x－1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)．答案B6．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x的取值范围是()．A.32，152B．[2,8]C．[2,8)D．[2,7]解析由4[x]2－36[x]＋45＜0，得32＜[x]＜152，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8.答案C7．设函数f(x)＝－2，x＞0，x2＋bx＋c，x≤0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为()．A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B．[－3，－1]C．[－3，－1]∪(0，＋∞)D．[－3，＋∞)解析当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f(0)，故其对称轴为x＝－b2＝－2，∴b＝4.又f(－2)＝4－8＋c＝0，∴c＝4，当x≤0时，令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；当x＞0时，f(x)＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)．答案C二、填空题8．不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________．解析原不等式等价于x＜－1，－x－1－－x或－1≤x≤3，x＋1－－x或x＞3，x＋1－x－，解得1≤x≤3或x＞3，故原不等式的解集为{x|x≥1}．答案{x|x≥1}9．已知函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x＜0，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是________．解析由函数f(x)的图象可知(如下图)，满足f(1－x2)＞f(2x)分两种情况：①1－x2≥0，x≥0，1－x2＞2x⇒0≤x＜2－1.②1－x2＞0，x＜0⇒－1＜x＜0.综上可知：－1＜x＜2－1.答案(－1，2－1)10．若关于x的不等式x2＋12x－(12)n≥0对任意n∈N*在x∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．解析由题意得x2＋12x≥(12)nmax＝12，∴x≥12或x≤－1.又x∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．答案(－∞，－1]11．已知f(x)＝1x－2x，－x2－x＋x，则不等式f(x)≤2的解集是________．解析依题意得1x－2≤2，x2，或－x2－x＋4≤2，x≤2.解得x∈(－∞，－2]∪[1,2]∪52，＋∞.答案(－∞，－2]∪[1,2]∪52，＋∞12．若不等式2x－1＞m(x2－1)对满足－2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围为________．解析(等价转化法)将原不等式化为：m(x2－1)－(2x－1)＜0.令f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)，则原问题转化为当－2≤m≤2时，f(m)＜0恒成立，只需f－＜0，f＜0即可，即－x2－－x－＜0，x2－－x－＜0，解得－1＋72＜x＜1＋32.答案－1＋72，1＋32【点评】本题用改变主元的办法，将m视为主变元，即“反客为主”法，把较复杂问题转化为较简单问题、较常见问题来解决.三、解答题13．已知f(x)＝2x2－4x－7，求不等式fx－x2＋2x－1≥－1的解集．解析原不等式可化为2x2－4x－7－x2＋2x－1≥－1，等价于2x2－4x－7x2－2x＋1≤1，即2x2－4x－7x2－2x＋1－1≤0，即x2－2x－8x2－2x＋1≤0.由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0.所以原不等式等价于x2－2x－8≤0，x2－2x＋1≠0.即－2≤x≤4，x≠1.所以原不等式的解集为{x|－2≤x1或1x≤4}．14．已知函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．思路分析第(2)问将不等式f(x)＜5－m，x∈[1,3]恒成立转化为m＜g(x)，x∈[1,3]上恒成立，再求g(x)的最小值即可．解析(1)由题意可得m＝0或m＜0，Δ＝m2＋4m＜0⇔m＝0或－4＜m＜0⇔－4＜m≤0.故m的取值范围为(－4,0]．(2)∵f(x)＜－m＋5⇔m(x2－x＋1)＜6，∵x2－x＋1＞0，∴m＜6x2－x＋1对于x∈[1,3]恒成立，记g(x)＝6x2－x＋1，x∈[1,3]，记h(x)＝x2－x＋1，h(x)在x∈[1,3]上为增函数．则g(x)在[1,3]上为减函数，∴[g(x)]min＝g(3)＝67，∴m＜67.所以m的取值范围为－∞，67.【点评】本题体现了转化与化归思想，解这类问题一般将参数分离出来，转化为求构造函数的最值问题，通过求最值解得参数的取值范围.15．一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x(元)．(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解析(1)由题意知，月利润y＝px－R，即y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，由月利润不少于1300(元)，得－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.故该厂月产量20～45件时，月利润不少于1300元．(2)由(1)得，y＝－2x2＋130x－500＝－2x－6522＋32252，由题意知，x为正整数．故当x＝32或33时，y最大为1612.所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1612元．16．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解析原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1；(2)当a＞0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≥0⇒x≥2a或x≤－1；(3)当a＜0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0.①当2a＞－1，即a＜－2时，原不等式等价于－1≤x≤2a；②当2a＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；③当2a＜－1，即－2＜a＜0时，原不等式等价于2a≤x≤－1.综上所述：当a＜－2时，原不等式的解集为－1，2a；当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2＜a＜0时，原不等式的解集为2a，－1；当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪2a，＋∞.