高考数学排列组合与二项式定理

1排列组合和二项式定理基础知识☆.两个基本原理：加法原理、乘法原理（正确地分类与分步是学好这一章的关键）加法原理与乘法原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数。它们的区别在于：加法原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；乘法原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。说明：教学中要强调分类与分步的区别，因为学生易混淆。☆.排列（1）排列、排列数定义（2）排列数公式：mnP=)!(!mnn=n·(n－1)…(n－m+1)（3）全排列公式：nnP=n!☆．组合（1）组合、组合数定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：Cnm=)!(!!mnmn=12)1(1)m-(n1)-n(mmn；（3）组合数的性质①Cnm=Cnn-m；②rnrnrnCCC11；说明：排列与组合问题的共同点是要“从n个不同元素中，任取m个元素”；不同点是对于所取出的m个元素，前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不管怎样的顺序并成一组”。另外，由于学生经常用计算器计算排列数和组合数，容易忽视排列数公式和组合数公式，所以应做一些简单的带字母的排列数和组合数问题，以熟练公式，打牢基础。☆．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；二项展开式有以下特征：（应再次强调）A、它有n+1项;B、各项的次数和都等于二项式的次数n;C、字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n;D、各项的系数依次为0nC,1nC,2nC,…,nnC2Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；教学中应强调，这个通项公式是针对(a+b)n这个标准形式而言的，对于(b+a)n的展开式,Tk+1=Cnkbn-kak对于的(a-b)n展开式Tk+1=Cnkan-k(-b)k这表明它们与标准形式的通项公式是有区别的。教学中应强调，由于其通项一般记为1rT,r不是项数,r+1才是项数；反过来，当已知项数时，将它减去1，才得到r。（二）主要思想方法☆解排列组合应用题的基本思路：①乘法原理与加法原理使用方法有两种：①单独使用；②联合使用。②将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合问题的关键一步③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；☆.解排列组合题的基本方法：①对于带限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；二、应知应会知识1．会根据两个原理解决有关分配决策的问题（要正确区分分类和分步）(1)5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有（）A.15种B.8种C.53种D.35种(2)四名医生分配到三所医院工作，每所医院至少一名，则不同的分配方案有_______种．(3)有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种2．会用捆绑法、插空法处理元素相邻或不相邻问题（1）不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种3（2）5人站成一排，其中A不在左端也不和B相邻的排法种数为（）A．48B．54C．60D．66（3）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有个.（用数字作答）3.会求某些元素按指定顺序排列的问题（1）七个人排成一行，则甲在乙左边（不一定相邻）的不同排法数有_________种．（2）某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__________.（用数字作答）（3）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_______种不同的方法（用数字作答）.4.会解与平均分组和非平均分组有关的问题（1）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A.140种B.84种C.70种D.35种（2）将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（）A．70B．140C．280D．8405.会解其它有限制条件的排列组合问题(要注意使用最常用、最本原的方法------列举法)（1）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有()A.36个B.24个C.18个D.6个4（2）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.（3）以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是（）A．34CB．1387CCC．1387CC-6D．4812C（4）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）A.6种B.9种C.11种D.23种（5）设有编号为1、2、3、4、5的五个球和编号为1、2、3、4、5的五个盒子，现将这五个球投入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样投放的方法总数为()A.20B.30C.60D.120（6）用六种不同颜色，给图中A、B、C、D、四块区域涂色，允许同一种颜色涂不同区域，但相邻区域不能涂同一种颜色，共有________种不同的涂法.6.会将所给的二项式展开或合并(1)计算:)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345xxxxx＝___________.(2)设Nn,则12321666nnnnnnCCCC_____________.7.会求二项式的展开式的指定项（要注意区分“第n项”、“第n项的系数”、“第n项的二项式系数”等概念的不同;会灵活运用二项式系数的性质解题）(1)若32()nxx展开式中含3x的项是第8项，则展开式中含1x的项是（）A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项ABCD5(2)若521x展开式中的第2项小于第1项，且第2项不小于第3项，则实数x的取值范围是（）A.x101B.101x0C.41x101D.41x0(3)设k=1,2,3,4,5,则(x+2)5的展开式中kx的系数不可能是(C)A.10B.40C.50D.80(4)在（1＋x）＋（1＋x）2＋……＋（1＋x）6的展开式中，x2项的系数是.（用数字作答）.(5)已知5(cos1)x的展开式中2x的系数与45()4x的展开式中3x的系数相等，则cos＝_________．(6)843)1()2(xxxx的展开式中整理后的常数项等于.(7)10)31(xx的展开式中含x的正整数指数幂的项数是A.0B.2C.4D.68.会求展开式的系数和，能正确使用赋值法解题(1)如果3213nxx的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是（）A.7B.7C.21D.21(2)在（x－2）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝2时，S等于（）A.23008B.-23008C.23009D.-230096(3)若1021001210(2)xaaxaxax，则则①01210aaaa=______________;②1210aaa=__________________;③0123910aaaaaa=_____________;④8a=___________.课后作业一、选择题（每小题有四个选项，只有一个是正确的，共40分）1．某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人，从四种血型的人中各选1人去献血，不同的选法种数为(D)A、26B、300C、600D、12002．n∈N*，则（20-n）(21-n)……(100-n)等于（C）A．80100nAB．nnA20100C．81100nAD．8120nA3、设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应（D）A、从东边上山B、从西边上山C、从南西上山D、从北边上山4、在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是(C)A、－5B、5C、10D、－105、有4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有（A）A、2880B、3080C、3200D、36006．若4234012341xaaxaxaxax，则1234aaaa的值为(B)A．0B．15C．16D．177．从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有(A)A．9种B．10种C．12种D．20种8．三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为(B)A．36B．40C．44D．489、123xx展开式中含x的正整数次幂的项共有（C）（A）1项（B）2项（C）3项（D）4项10、从6人中选4人分别去北京，上海，广州，重庆四个城市游览，每人只去一个城市游览，7但甲，乙两人都不去北京，则不同的选择方案有（B）A、300种B、240种C、144种D、96种二、填空题（每小题4分，共20分）11、在10)(ax的展开式中，7x的系数是15，则实数a=-0.5；12、310(1)(1)xx的展开式中，5x的系数是207；（用数字作答）13、3名老师带领6名学生平均分成三个小组到三个工厂进行社会调查，每小组有1名老师和2名学生组成，不同的分配方法有540种。（用数字作答）14、体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放法有____10____种。15、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于8分的取法有__66__种(用数字作答).