高考数学放缩法在数列不等式证明的运用论文大纲人教版

1放缩法在数列不等式证明中的运用高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用。一、放缩后转化为等比数列。例1.{}nb满足：2111,(2)3nnnbbbnb（1）用数学归纳法证明：nbn（2）1231111...3333nnTbbbb，求证：12nT解：(1)略(2)13()2(3)nnnnbbbnb又nbn132(3)nnbb，*nN迭乘得：11132(3)2nnnbb*111,32nnnNb234111111111...2222222nnnT点评：把握“3nb”这一特征对“21(2)3nnnbbnb”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2．数列{}na，11(1)nnan，其前n项和为ns求证：222ns解：2111111...234212nsnn令12(21)nbnn，{}nb的前n项和为nT2当2n时，1111()2(22)41nbnnnn2111111111111()()...()2123043445641nnsTnn7121042n点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。例3.已知函数()(0)bfxaxcax的图象在(1,(1))f处的切线方程为1yx（1）用a表示出,bc（2）若()lnfxx在[1,)上恒成立，求a的取值范围（3）证明：1111...ln(1)232(1)nnnn解：（1）（2）略（3）由（II）知：当)1(ln)(,21xxxfa有时令).1(ln)1(21)(,21xxxxxfa有且当.ln)1(21,1xxxx时令)],111()11[(21]11[211ln,1kkkkkkkkkx有即.,,3,2,1),111(21ln)1ln(nkkkkk将上述n个不等式依次相加得,)1(21)13121(21)1ln(nnn整理得.)1(2)1ln(131211nnnn点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。3三、放缩后迭乘例4．*1111,(14124)()16nnnaaaanN.（1）求23,aa（2）令124nnba，求数列{}nb的通项公式（3）已知1()63nnfnaa，求证：1(1)(2)(3)...()2ffffn解：（1）（2）略由（2）得2111()()3423nnna13231()21142424nnnnnfn121111111211(1)(1)11144444411114111444nnnnnnnnnn1114()114nnfn211111111114444(1)(2)...()...1111221144nnnfffn点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求n项和时用迭加，求n项乘时用迭乘。