高考数学第一轮1061空间直线与平面

g3.1061空间直线与平面一.知识回顾:1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA，//a．aaAa2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////ababa．3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//aabab．4奎屯王新敞新疆定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直奎屯王新敞新疆其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面奎屯王新敞新疆交点叫做垂足奎屯王新敞新疆直线l与平面α垂直记作：l⊥α奎屯王新敞新疆5奎屯王新敞新疆直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面奎屯王新敞新疆6．直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行babaPPab7．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．8．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．9奎屯王新敞新疆三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直奎屯王新敞新疆10．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直奎屯王新敞新疆推理模式：,,POOPAAaAOaaAP．注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a奎屯王新敞新疆其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理奎屯王新敞新疆⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用奎屯王新敞新疆二基本训练：1．已知直线a、b和平面，那么ba//的一个必要不充分的条件是（D）()A//a，//b()Ba，b()Cb且//a()Da、b与成等角2．、表示平面，a、b表示直线，则//a的一个充分条件是（D）()A，且a()Bb，且ba//)(Cba//，且//b()D//，且a3．在直四棱柱1111ABCDABCD中，当底面四边形ABCD满足条件ACBD时，有111ACBD（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）4.设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：①若PABC，PBAC，则H是ABC的垂心②若,,PAPBPC两两互相垂直，则H是ABC的垂心③若90ABC，H是AC的中点，则PAPBPC④若PAPBPC，则H是ABC的外心其中正确命题的命题是①②③④三．例题分析：例1．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．证明：(1)∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝21AC．∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝21CA．∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．aPOABADCPNQMMDA1C1B1CBANMPDCBA(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACα．否则，若ACα，由A∈α，M∈α，得B∈α；由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．又∵MNα，∴AC∥α，又ACα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．同理可证BD∥平面MNP．例2．四面体ABCD中，,,ACBDEF分别为,ADBC的中点，且22EFAC，90BDC，求证：BD平面ACD证明：取CD的中点G，连结,EGFG，∵,EF分别为,ADBC的中点，∴EG12//AC12//FGBD，又,ACBD∴12FGAC，∴在EFG中，222212EGFGACEF∴EGFG，∴BDAC，又90BDC，即BDCD，ACCDC∴BD平面ACD例3.如图，直三棱柱111ABCABC中，90,1,2ACBACCB，侧棱11AA，侧面11AABB的两条对角线交于点D，11BC的中点为M，求证：CD平面BDM证明：连结1AC，∵90,ACB∴BCAC，在直三棱柱111ABCABC中1CCAC，∴AC平面1CB，∵11AA，1AC∴12AC，∴1ACBC，∵D是侧面11AABB的两条对角线的交点，∴D是1AB与1AB的中点，∴CDBD，连结1BC，取1BC的中点O，连结DO，则//DOAC，∵AC平面1CB，∴DO平面1CB，∴CO是CD在平面1BC内的射影。在1BBC中，1tan2BBC在1BBM中，1tan2BMB，∴11BBCBMB∴1BCBM，∴,CDBMBMBDB，∴CD平面BDM例4．如图，PA矩形ABCD所在的平面，,MN分别是,ABPC的中点，（1）求证：//MN平面PAD；（2）求证：MNCD（3）若4PDA，求证：MN平面PCD四、作业同步练习g3.1061空间直线与平面1、已知直线a、b和平面，那么ba//的一个必要不充分的条件是（）()A//a，//b()Ba，b()Cb且//a()Da、b与成等角2、、表示平面，a、b表示直线，则//a的一个充分条件是（）()A，且a()Bb，且ba//)(Cba//，且//b()D//，且a3、已知平面Pm点平面,,直线n过点P，则nmn是的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、非充分非必要条件4、已知直线,4||cmaa相距与平面，平面平面内直线b与c相距6cm且a||b,a与b相距5cm，则a、c相距（）A、5cmB、cm97或5cmC、cm97D、cm65或5cm5、在ABC中，90ACB,AB=8,60BAC,PC面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（）A、72B、7C、19D、56、在长方体1111DCBAABCD中，经过其对角线1BD的平面分别与棱1AA、1CC相交于FE,两点，则四边形1EBFD的形状为．7、空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且32CDCGCBCF，若BD＝6cm,梯形EFGH的面积为28cm2。则平行线EH、FG间的距离为8、如图，90BAD的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与CD所成角的大小为。9、图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是。AECDBBGCHDA10、如图，A，B，C，D四点都在平面，外，它们在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．ABCDB11D1C11α1A1B2A2C2D22222β11、ABCD是四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP||GH。ABCDPMHG参考答案DDCBA6、（平行四边形）7、8cm8、459、2210．证明：∵A，B，C，D四点在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，∴A，B，C，D四点共面．又A，B，C，D四点在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线．∴AB∥CD．同理AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．11、证明：设ACBD=O,连OM，因为M是PC的中点，所以OM平行AP，所以AP平行平面BDM，因为AP面APG且面APG面BDM=GH所以AP||GH。