高考数学第一轮复习计数原理概率随机变量及其分布

计数原理、概率、随机变量及其分布一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．袋中有大小相同的10个球，分别标有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是()A．10B．17C．18D．192．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有()A．81B．64C．12D．143．在(x－y)10的展开式中，系数最小的项是()A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项4．生产某种产品出现次品的概率为2%，生产这种产品4件，至多一件次品的概率为()A．(1－98%)4B．(98%)4＋(98%)3·2%C．(98%)4D．(98%)4＋C14(98%)3·2%5．如图D10－1所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的圆弧．某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是()图D10－1A．1－π8B.π4C．1－π4D．与a的值有关联6．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋3cosx≤1”发生的概率为()A.14B.13C.12D.237．直线x＝m，y＝x将圆面x2＋y2＝4分成若干块，现用5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则m的取值范围是()A．(－2，2)B．(－2,2)C．(－2，－2)∪(2，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)8．设a为函数y＝sinx＋3cosx(x∈R)的最大值，则二项式ax－1x6的展开式中含x2项的系数是()A．192B．182C．－192D．－182二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置)9．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要安排在2,5,7,10的位置上，3个舞蹈节目要安排在3,6,9的位置，2个曲艺节目要安排在4,8的位置，则不同安排的种数是________．10．若随机变量X～N(10，σ2)，若X在(5,10)上的概率等于a，a∈(0,0.5)，则X在(－∞，15)的概率等于________．11．甲、乙两人从1,2,3，…，15中依次任取一个数(不放回)，已知甲取到的数字是5的倍数，则甲取的数大于乙取的数的概率是________．12．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．13．甲、乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．14．正三角形ABC的内切圆为圆O，则△ABC内的一点落在圆O外部的概率为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(2)求这三人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)．16．(13分)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示.版本人教A版人教B版苏教版北师大版人数2015510(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17．(13分)从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分别为：甲：7.7,7.8,8.1,8.6,9.3,9.5；乙：7.6,8.0,8.2,8.5,9.2,9.5.(1)根据如图D10－2所示的茎叶图，对甲、乙运动员的成绩作比较，写出两个统计结论；(2)从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的概率．(3)经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计，发现甲运动员成绩均匀分布在[7.5,9.5]之间，乙运动员成绩均匀分布在[7.0,10]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分的概率.甲乙877661802553925图D10－218．(14分)为征求个人所得税修改建议，某机构对当地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图D10－3.(1)求居民月收入在[3000,4000]的频率；(2)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000)的这段应抽多少人？(3)若将频率视为概率，对该地居民随机抽三人进行预测，记这三人月收入不低于3000元的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．图D10－319．(14分)一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．(1)从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率；(2)若从盒子中有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；(3)从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当抽到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望．20．(14分)某种项目的射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分．并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手在100米处击中目标的概率为12，他的命中率与目标距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．(1)求这名射手在三次射击中命中目标的概率；(2)求这名射手比赛中得分的数学期望．单元能力检测(十)1．D[解析]每次抽取一个球后，又放回，故两球的数字之和的最小值为0，最大值为18，且能取得之间的每一个整数值，所以选D.2．B[解析]4×4×4＝64.3．C[解析]展开式共有11项，中间一项的二项式系数最大，该项的系数为负，故第6项的系数最小．4．D[解析]“至多一件次品”可以分拆为“全是正品”和“恰有一件次品”两个互斥的基本事件，故所求的概率P＝(98%)4＋C14(98%)3·2%.5．C[解析]阴影部分的面积等于正方形的面积减去一个半径为a2的圆的面积，故所求的概率是a2－πa22a2＝1－π4.6．C[解析]sinx＋3cosx＝2sinx＋π3≤1，可得sinx＋π3≤12，解得π2≤x≤π，故事件sinx＋3cosx≤1的概率是π－π2π－0＝12.7．A[解析]只有当m∈(－2，2)时，直线x＝m，y＝x才可能把圆面分成四块区域．根据涂法，其种数为A45＝120.8．C[解析]因为sinx＋3cosx＝2sinx＋π3，由题设知a＝2，则二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6(ax)6－r·－1xr＝(－1)r·Cr6·a6－r·x3－r，令3－r＝2，得r＝1，含x2项的系数是－C1625＝－192.9．288[解析]可以分三步完成：第一步，安排4个音乐节目，共有A44种排法；第二步，安排舞蹈节目，共有A33种排法；第三步，安排曲艺节目，共有A22种排法．所以不同排法有A44A33A22＝288(种)．10.12＋a[解析]P(10X15)＝a，故P(X≤5)＝12(1－2a)＝12－a，所以X在(－∞，15)的概率等于12－a＋a＋a＝12＋a.11.914[解析]记A＝“甲数是5的倍数”，B＝“甲数大于乙数”，P(B|A)＝PABPA＝4＋9＋1415×143×1415×14＝914.12.35[解析]从盒中随机取出2个球，有C25种取法；所取出的2个球颜色不同，有C13C12种取法，则所取出的2个球颜色不同的概率是P＝C13C12C25＝610＝35.13.16[解析]对本题我们只看甲、乙二人游览的最后一个景点，最后一个景点的选法有C16×C16＝36(种)，若两个人最后选同一个景点选法共有C16＝6(种)，所以最后一小时他们在同一个景点游览的概率为P＝C16C16×C16＝16.14.9－3π9[解析]设正三角形ABC的边长为a，则其内切圆的半径是a2×tan30°＝3a6，内切圆面积是π3a62＝πa212，正三角形ABC的面积是34a2，故所求的概率是1－πa21234a2＝1－3π9.15．[解答]记“甲理论考核合格”为事件A1；“乙理论考核合格”为事件A2；“丙理论考核合格”为事件A3；记Ai为Ai的对立事件，i＝1,2,3；记“甲实验考核合格”为事件B1；“乙实验考核合格”为事件B2；“丙实验考核合格”为事件B3；(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，P(C)＝P(A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.7＝0.902.(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D，则P(D)＝P[(A1·B1)·(A2·B2)·(A3·B3)]＝P(A1·B1)·P(A2·B2)·P(A3·B3)＝P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3)＝0.9×0.8×0.7×0.8×0.7×0.9＝0.254016≈0.254.所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254.16.[解答](1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C250＝1225，选出2人使用版本相同的方法数为C220＋C215＋C25＋C210＝350.故2人使用版本相同的概率为：P＝3501225＝27.(2)∵P(X＝0)＝C215C235＝317，P(X＝1)＝C120C115C235＝60119，P(X＝2)＝C220C235＝38119.∴X的分布列为X012P3176011938119∴EX＝317×0＋60119×1＋38119×2＝136119＝87.17．[解答](1)①由样本数据得x甲＝8.5，x乙＝8.5，可知甲、乙运动员平均水平相同；②由样本数据得，s2甲＝0.49，s2乙＝0.44，乙运动员比甲运动员发挥更稳定．(2)设甲、乙成绩至少有一个高于8.5分为件A，则P(A)＝1－3×46×6＝23.(3)设甲运动员成绩为x，则x∈[7.5,9.5]，乙运动员成绩为y，y∈[7,10]，7.5≤x≤9.5，7≤y≤10，|x－y|0.5.把x，y同时减去7，不改变问题所求的概率，区域如图．设甲、乙运动员成绩之差的绝对值小于0.5的事件为B，则利用几何概型得P(B)＝1×22×3＝13.18．[解答](1)月收入在[3000,4000]的频率为0．0003×(3500－3000)＋0.0001×(4000－3500)＝0.2.(2)居民月收入在[2500,3000)的频率为0.0005×(3000－2500)＝0.25，所以10000人中月收入在[2500,3000)的人数为0.25×10000＝2500(人)，再从10000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500,3000)的这