高考数学第九章平面解析几何第4课时圆的方程

第九章平面解析几何第4课时圆的方程第十章对应学生用书（文）119～121页（理）124～126页考情分析考点新知了解确定圆的几何要素(圆心、半径、不在同一直线上的三个点等)；掌握圆的标准方程与一般方程与一般方程．能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系并会进行互化.1.方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．答案：(3，0)3解析：(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.2.以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_________．答案：(x－1)2＋(y－2)2＝25解析：设P(x，y)是所求圆上任意一点．∵A、B是直径的端点，∴PA→·PB→＝0.又PA→＝(－3－x，－1－y)，PB→＝(5－x，5－y)．由PA→·PB→＝0(－3－x)·(5－x)＋(－1－y)(5－y)＝0x2－2x＋y2－4y－20＝0(x－1)2＋(y－2)2＝25.3.(必修2P111练习8改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________．答案：－∞，14∪(1，＋∞)解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜14或m＞1.4.(必修2P102习题1(3)改编)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．答案：x2＋(y－2)2＝1解析：设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.5.(必修2P112习题8改编)点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．答案：(－1，1)解析：∵点(1，1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.1.圆的标准方程(1)以(a，b)为圆心，r(r0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．(2)特殊的，x2＋y2＝r2(r0)的圆心为(0，0)，半径为r．2.圆的一般方程方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为x＋D22＋y＋E22＝D2＋E2－4F4.(1)当D2＋E2－4F0时，方程表示以－D2，－E2为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示一个点－D2，－E2；(3)当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形．3.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)设所求圆的标准方程或圆的一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r的方程组或关于D，E，F的方程组；(3)求出a，b，r或D，E，F的值，从而确定圆的方程．4.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2．(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2．[备课札记]题型1圆的方程例1已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆半径r的取值范围；(3)求圆心的轨迹方程．解：(1)方程表示圆的充要条件是D2＋E2－4F0，即有4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)0－17m1.(2)半径r＝－7m－372＋167≤4770r≤477.(3)设圆心坐标为(x，y)，则x＝m＋3，y＝4m2－1，消去m，得y＝4(x－3)2－1.由于－17m1，所以207x4.故圆心的轨迹方程为y＝4(x－3)2－1207x4.变式训练已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.(1)若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．解：(1)配方得(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心C(t，t2)．依题意t－t2＋2＝0t＝－1或2.即x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0为所求方程．(2)整理圆C的方程为(x2＋y2－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t2＝0，令x2＋y2－4＝0，－2x＋4＝0，－2y＝0x＝2，y＝0.故圆C过定点(2，0)．题型2求圆的方程例2求过两点A(1，4)、B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程，并判断点P(2，4)与圆的关系．解：(解法1)(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵圆心在y＝0上，故b＝0.∴圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.∵该圆过A(1，4)、B(3，2)两点，∴（1－a）2＋16＝r2，（3－a）2＋4＝r2，解之得a＝－1，r2＝20.∴所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.(解法2)(直接求出圆心坐标和半径)∵圆过A(1，4)、B(3，2)两点，∴圆心C必在线段AB的垂直平分线l上．∵kAB＝4－21－3＝－1，故l的斜率为1，又AB的中点为(2，3)，故AB的垂直平分线l的方程为y－3＝x－2即x－y＋1＝0.又知圆心在直线y＝0上，故圆心坐标为C(－1，0)．∴半径r＝|AC|＝（1＋1）2＋42＝20.故所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.又点P(2，4)到圆心C(－1，0)的距离为d＝|PC|＝（2＋1）2＋42＝25r.∴点P在圆外．备选变式（教师专享）已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，且||AB＝6，求圆C的方程．解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，则圆心C(a，b)，由题意得b－1a＋2＝－1，b＋12＝a－22＋1，解得a＝0，b＝－1.故C(0，－1)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝||－4－115＝3.∵AB＝6，∴r2＝d2＋AB22＝18，∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.例3在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ0，解得b1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b，令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．证明：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点(0，1)；同理可证圆C必过定点(－2，1)．备选变式（教师专享）已知直线l1、l2分别与抛物线x2＝4y相切于点A、B，且A、B两点的横坐标分别为a、b(a、b∈R)．(1)求直线l1、l2的方程；(2)若l1、l2与x轴分别交于P、Q，且l1、l2交于点R，经过P、Q、R三点作圆C.①当a＝4，b＝－2时，求圆C的方程；②当a，b变化时，圆C是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由．解：(1)Aa，a24，Bb，b24，记f(x)＝x24，f′(x)＝x2，则l1的方程为y－a24＝a2(x－a)，即y＝a2x－a24；同理得l2的方程为y＝b2x－b24.(2)由题意a≠b且a、b不为零，联立方程组可求得Pa2，0，Qb2，0，Ra＋b2，ab.∴经过P、Q、R三点的圆C的方程为xx－a＋b2＋(y－1)(y－ab)＝0，当a＝4，b＝－2时，圆C的方程为x2＋y2－x＋7y－8＝0，显然当a≠b且a、b不为零时，圆C过定点F(0，1)．题型3圆与方程(轨迹)例4如图，已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于2.求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么．解：设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝2|MQ|}.因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－1.设点M的坐标为(x，y)，则x2＋y2－1＝2（x－2）2＋y2，整理得(x－4)2＋y2＝7.它表示圆，该圆圆心的坐标为(4，0)，半径为7.备选变式（教师专享）如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM＝2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．由已知PM＝2PN，得PM2＝2PN2.因为两圆的半径均为1，所以PO21－1＝2(PO22－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33,所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．题型4与圆有关的最值问题例5P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．解：由C(1，1)得OC＝2，则OPmin＝2－1，即(x2＋y2)min＝2－1.所以x2＋y2的最小值为(2－1)2＝3－22.变式训练已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1，则2x－y的最大值为________，最小值为________．答案：5＋55－5解析：令b＝2x－y，则b为直线2x－y＝b在y轴上的截距的相反数，当直线2x－y＝b与圆相切时，b取得最值．由|2×2＋1－b|5＝1.解得b＝5±5，所以2x－y的最大值为5＋5，最小值为5－5.1.已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为________．答案：x2＋y±332＝43解析：由题可知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b)，半径为r，则rsinπ3＝1，rcosπ3＝|b|，解得r＝23，|b|＝33，即b＝±33.故圆的方程为x2＋y±332＝43.2.过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．答案：x＋y－2＝0解析：当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0.3.已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．答案：5解析：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d21＋d22＝3.由平面几何知识知|AC|＝24－d21，|BD|＝24－d22，∴S四边形ABCD＝12|AC|·|BD|＝24－d21·4－d22≤(4－d21)＋(4－d22)＝8－(d21＋d22)＝5，即四边形ABCD面积的最大值为5.4.若直线l：ax＋by＋4＝0(a0，b0)始终平分圆C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值为________．答案：1解析：圆C的圆心坐标为(－4，－1)，则有－4a－b＋4＝0，即4a＋b＝