高考数学解斜三角形简单练习1

2012高考数学解斜三角形一、知识梳理1.正弦定理：Aasin=Bbsin=Ccsin=2R，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=bcacb2222.3.S△ABC=21absinC=21bcsinA=21acsinB,4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2C=sin2BA,sin2C=cos2BA……在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;证明：tanC＝tan[∏－（A＋B）]即tanC＝－（tanA＋tanB）÷（1－tanA×tanB）－tanC＝（tanA＋tanB）÷（1－tanA×tanB）－tanC＋tanA×tanB×tanC＝tanA＋tanB移项tanA×tanB×tanC＝tanA＋tanB＋tanC(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.证明：三角形三个内角A、B、C依次成等差数列,则必有一个角为60°，假设是B为60°，且B对应的边为b，则根据余弦定理，a.a+c.c-b.b=ac又因为b.b=a.c所以代入到前式，则a=c,又将a=c代入第一个式子，则a=b所以a=b=c7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及Aasin=Bbsin=Ccsin，可求出角C，再求出b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理Aasin=Bbsin，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由Aasin=Ccsin求出C，而通过Aasin=Bbsin求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A90°A=90°A90°ab一解一解一解a=b无解无解一解ababsinA两解无解无解a=bsinA一解absinA无解1．已知三角形的三边之比为3∶4∶37，则最大内角为．2．已知))((acbcba＝3bc，则∠A＝．3．已知三角形的一个内角是45，一邻边长是3，对边长为2，则另一邻边长为．4．已知a＝4，b＝6，Bsin＝43，则∠A＝．5．在△ABC中，已知a＝12，b＝43，∠A＝120，则c＝，S＝．6．已知Asin＝2CBcossin，且acbcba＝cb3，则三角形形状为．7．在△ABC中，已知a＝1，b＝3，∠A＝30，则∠B＝．8．在△ABC中，已知a＝2，b＝22，如果三角形有解，则∠A的取值范围．9．在△ABC中，若Aacos＝Bbcos，则△ABC是．10．在△ABC中，∠B＝45，D是BC上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝．11．已知三角形的三条边之比为3∶5∶7，且最大边长为14，则三角形的面积为．12．在锐角三角形ABC中，a＝8，c＝12，S＝243，则三角形中最小角是，它的正弦值等于．二．选择题：13．在△ABC中，Asin+Acos＝127，则△ABC是（）（A）钝角三角形；（B）锐角三角形；（C）直角三角形；（D）正三角形．14．在△ABC中，∠A＝60，a＝7，b＝8，则三角形（）（A）有一解；（B）有两解；（C）无解；（D）不确定．15．在△ABC中，Asin∶Bsin∶Csin＝2∶3∶4，则ABCcos＝（）（A）1611；（B）－41；（C）2421；（D）43．16．在△ABC中，b＝1，c＝3，∠B＝30，则△ABC的面积是（）（A）23；（B）43；（C）23或3；（D）43或23．三．解答题：17．在△ABC中，若Aacos+Bbcos＝Cccos，判断三角形形状．解：18．在△ABC中，已知ab＝60，S＝15，Asin＝Bcos，求三角形的三内角．解：19．已知三角形三边是三个连续自然数，若最大角是最小角的两倍，求三边长．解：20．已知三角形两边之和为8，其夹角为60，求这个三角形周长的最小值和面积的最大值，并指出面积最大时三角形的形状．解：1.在△ABC中，A=60°，a=433,b=42，则B等于()A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对2.△ABC中，a=2bcosC，则此三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形3.设A是△ABC最小内角，则sinA+cosA的取值范围是()A.(-2，2)B.［-2,2］C.(1，2)D.(1,2］在△ABC中，cos22A=ccb2(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_________________________.△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b+c),求证:A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边.已知锐角△ABC中,sin(A+B)=53,sin(A-B)=51.(1)求证:tanA=2tanB;(2)设AB=3,求AB边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形如图，有两条相交成60°角的直路EF、MN，交点是O.起初，阿福在OE上距O点3千米的点A处；阿田在OM上距O点1千米的点B处.现在他们同时以4千米/时的速度行走，阿福沿EF的方向，阿田沿NM的方向.(1)求起初两人的距离；(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离；(3)什么时候他们两人的距离最短？1.在△ABC中，cos（A－B）＋sin（A＋B）=2，则△ABC的形状是（）A.等边三角形B.等腰钝角三角形C.等腰直角三角形D.锐角三角形2.若△ABC的面积为4222cba，则内角C等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°3.△ABC中，sin2A=sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则A等于（）A.30°B.60°C.120°D.150°4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定5.在△ABC中，A为锐角，lgb+lg（c1）=lgsinA=－lg2，则△ABC为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形6.在△ABC中，a（sinB－sinC）＋b（sinC－sinA）＋c（sinA－sinB）的值是（）A.21B.0C.1D.π7.R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cosAcosB，则△ABC的外心位于（）A.三角形的外部B.三角形的边上C.三角形的内部D.三角形的内部或外部，但不会在边上8.若△ABC的三条边的长分别为3、4、6，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是（）A.1∶1B.1∶2C.1∶4D.3∶4BEADC9.如图，D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α（α＜β），则A点离地面的高AB等于（）DABCA.)sin(sinsinaB.)cos(sinsinaC.)sin(coscosaD.)cos(coscosa10.在△ABC中，若cbcBABAtantantantan，这个三角形必含有（）A.30°的内角B.45°的内角C.60°的内角D.90°的内角11.在△ABC中，tanB=1，tanC=2，b=100，则a=______.12.在△ABC中，若∠B=30°，AB=23，AC=2，则△ABC的面积为__________.13.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若（a＋b＋c）·（sinA＋sinB－sinC）=3asinB，则C=______.14.在△ABC中，S是它的面积，a、b是它的两条边的长度，S=)(4122ba，则△ABC为__________三角形.15.（本小题满分10分）隔河看到两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求A、B之间的距离.ABCD16.（本小题满分10分）在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10,求AB的长.17.（本小题满分8分）在△ABC中，已知cbcBABAtantantantan，求∠A.18.（本小题满分12分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为（13）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向距离A为2海里的C处有我方一艘缉私艇奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？需要多长时间？304575oooCABD19.（本小题满分14分）在△ABC中，已知a2－a=2（b＋c），a＋2b=2c－3.（1）若sinC∶sinA=4∶13，求a、b、c；（2）求△ABC的最大角的弧度数.