高考数学解答题专题攻略--2函数与导数

高中数学辅导网高考数学解答题专题攻略--函数与导数一、08高考真题精典回顾：1.（全国一19）．（本小题满分12分）已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．解：（1）32()1fxxaxx求导：2()321fxxax当23a≤时，0≤，()0fx≥，()fx在R上递增当23a，()0fx求得两根为233aax即()fx在233aa，递增，223333aaaa，递减，233aa，递增（2）2232333133aaaa≤≥，且23a解得：74a≥2.（辽宁卷22）．（本小题满分14分）设函数ln()lnln(1)1xfxxxx．（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式()fxa≥的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）221ln11ln()(1)(1)1(1)xxfxxxxxxx．·········2分故当(01)x，时，()0fx，(1)x，∞时，()0fx高中数学辅导网所以()fx在(01)，单调递增，在(1)，∞单调递减．··············4分由此知()fx在(0)，∞的极大值为(1)ln2f，没有极小值．··········6分（Ⅱ）（ⅰ）当0a≤时，由于ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln()011xxxxxxxxfxxx，故关于x的不等式()fxa≥的解集为(0)，∞．················10分（ⅱ）当0a时，由ln1()ln11xfxxx知ln21(2)ln1122nnnnf，其中n为正整数，且有22211ln11log(1)222nnnnaene．·············12分又2n≥时，ln2ln2ln22ln2(1)121(11)12nnnnnnnn．且2ln24ln2112annn．取整数0n满足202log(1)nne，04ln21na，且02n≥，则0000ln21(2)ln112222nnnnaafa，即当0a时，关于x的不等式()fxa≥的解集不是(0)，∞．综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得关于x的不等式()fxa≥的解集为(0)，∞，且a的取值范围为0∞，．14分3.（江苏卷17）．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm．高中数学辅导网（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；②设OPx(km)，将y表示成xx的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，则10coscosAQOA,故10cosOB，又OP＝1010tan10－10ta，所以10101010tancoscosyOAOBOP，所求函数关系式为2010sin10cosy04②若OP=x(km)，则OQ＝10－x，所以OA=OB=222101020200xxx所求函数关系式为2220200010yxxxx（Ⅱ）选择函数模型①，'2210coscos2010sin102sin1coscossiny令'y0得sin12，因为04，所以=6，当0,6时，'0y，y是的减函数；当,64时，'0y，y是的增函数，所以当=6时，min10103y。这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边1033km处。二、09高考数列分析与预测：以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数极值理论，单调性及其应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向，预测2009年高考导数问题命题的五大热点如下：热点一、在导数与函数性质的交汇点命题：主要考查导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等。命题的热点：三次函数求导后为二次函数，结合一元二次方程根的分布，考查代数推理能力、语言转化能力和待定系数法等数学思想。热点二、在导数与含参数函数的交汇点命题：主要考查含参数函数的极值问题，分类讨论思想及解不等式的能力，利用分离变量法求参数的取值范围等问题。CBPOAD高中数学辅导网热点三、在导数与解析几何交汇点命题：主要考查对导数的几何意义，切线的斜率，导数与函数单调性，最（极）值等综合运用知识的能力。热点四、在导数与向量问题交汇点命题：依托向量把函数单调性，奇偶性，解不等式等知识融合在一起。即考查了向量的有关知识，又考查了函数性质及解不等式等内容。热点五、在导数与函数模型构建交汇点命题：主要考查考生将实际问题转化为数学问题，运用导数工具和不等式知识去解决最优化问题的数学应用意识和实践能力。备考指南：复习时，考生要“回归”课本，浓缩所学的知识，夯实基础，熟练掌握解题的通性、通法，提高解题速度。同时，许多高考试题在教材中都有原型，即由教材中的例题、习题引申变化而来。因此，考生必须利用好课本，夯实基础知识。三、高考热点新题：1.已知函数)(ln)(Raxaxxf（Ⅰ）求)(xf的极值；（Ⅱ）若函数)(xf的图象与函数)(xg=1的图象在区间],0(2e上有公共点，求实数a的取值范围。2.已知函数)1ln()ln(1)ln()(xaxxaxxf,),0(Raa（Ⅰ）求函数()fx的定义域；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）当a0时，若存在x使得()ln(2)fxa成立，求a的取值范围.高中数学辅导网某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：239(229107)xx(57)x19865xx(78)x（1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式；（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.4.已知函数21()xgxxc的图像关于原点成中心对称，设函数21()()lnxcxfxgxx．(1)求()fx的单调区间;(2)已知xmex对任意(1,)x恒成立．求实数m的取值范围(其中e是自然对数的底数)．Q＝高中数学辅导网设函数xbxxfln)1()(2，其中b为常数．（Ⅰ）当21b时，判断函数()fx在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数()fx的有极值点，求b的取值范围及()fx的极值点；（Ⅲ）若1b,试利用（II）求证：n3时，恒有211ln1lnnnnn。6.已知函数221()ln(1),().1fxxgxax（1）求()gx在(2,(2))Pg处的切线方程;l（2）若()fx的一个极值点到直线l的距离为1，求a的值；（3）求方程()()fxgx的根的个数.7.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),OxyMNP高中数学辅导网公共设施边界为曲线2()1(0)fxaxa的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设(,())Ptft（1）将OMN（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数()St；（2）若在12t处，()St取得最小值，求此时a的值及()St的最小值.四、高考热点新题参考答案：1解：（1）2)(ln1)(),,0()(xaxxfxf的定义域为令aexxf10)(得当)(,0)(,),0(1xfxfexa时是增函数当)(,0)(,),(1xfxfexa时是减函数∴111)()(,)(aaaeefxfexxf极大值处取得极大值在（2）（i）当21eea时，时1a，由（Ⅰ）知),0()(1aexf在上是增函数，在],(21eea上是减函数11()()aamaxfxfee高中数学辅导网又当],(.0)(],0(,0)(,2eexxfexxfexaaa当时当时时，).0()(1aexf所以1)()(xgxf与图象的图象在],0(2e上有公共点，等价于11ae解得1,1,1aaa所以又（ii）当121aeea即时，],0()(2exf在上是增函数，∴2222)(],0()(eaefexf上的最大值为在所以原问题等价于.2,1222eaea解得又1a，∴无解2解：（Ⅰ）当0a时函数()fx的定义域为),0(；当0a时函数()fx的定义域为)0,1(（Ⅱ）111)1()ln(1)(2xxxaxxxxf222)1()ln()1()1()1()ln()1(xaxxxxxxaxxx令()0fx时，得ln0ax即1xa，①当0a时，1(0,)xa时()0fx，当1(,)xa时，()0fx，故当0a时，函数的递增区间为1(0,)a，递减区间为1(,)a②当10a时，10ax，所以()0fx，故当10a时，()fx在(1,0)x上单调递增．③当1a时，若1(1,)xa，()0fx;若1(,0)xa，()0fx，故当1a时，()fx的单调递增区间为1(,0)a;单调递减区间为1(1,)a．（Ⅲ）因为当0a时，函数的递增区间为1(0,)a;单调递减区间为1(,)a若存在x使得()ln(2)fxa成立，只须1()ln(2)faa，高中数学辅导网即011ln()ln2201112aaa