高考数学总复习经典测试题解析版8.2空间几何体的表面积与体积

8.2空间几何体的表面积与体积一、选择题1．棱长为2的正四面体的表面积是()．A.3B．4C．43D．16解析每个面的面积为：12×2×2×32＝3.∴正四面体的表面积为：43.答案C2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()．A．2倍B．22倍C.2倍D.32倍解析由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V＝43πR3，知体积扩大到原来的22倍．答案B3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为()．（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）A.1423B.2843C.2803D.1403解析根据三视图的知识及特点，可画出多面体的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去[来源:学科网ZXXK]一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－13×12×2×2×2＝2843.答案B4．某几何体的三视图如下，则它的体积是()（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）A．8－2π3B．8－π3C．8－2πD.2π3解析由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V＝23－13×π×2＝8－2π3.答案A5．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为()（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）A．24－32πB．24－π3C．24－πD．24－π2解析据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2.答案A6．某品牌香水瓶的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为()（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）A.95－π2cm2B.94－π2cm2C.94＋π2cm2D.95＋π2cm2解析这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－π4＝30－π4；中间部分的表面积为2π×12×1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－π4＝64－π4.故其表面积是94＋π2.答案C7．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为()．A．33B．23C.3D．1解析由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝33x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中，BD＝3(4－x)，所以33x＝3(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝3，所以三角形ABD为正三角形，所以V＝13S△ABD×4＝3.答案C二、填空题8．三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于________．解析依题意有，三棱锥PABC的体积V＝13S△ABC·|PA|＝13×34×22×3＝3.答案39．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________．解析设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r，圆柱的侧面积是2πr·2r＝4πr2，设球的半径是R，则球的表面积是4πR2，根据已知4πR2＝4πr2，所以R＝r.所以圆柱的体积是πr2·2r＝2πr3，球的体积是43πr3，所以圆柱的体积和球的体积的比是2πr343πr3＝3∶2.答案3∶210．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V＝13×1×1×22＝26.答案2611．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．解析由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则h2＋r2＝R2.而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4πr2＋h22＝2πR2(当且仅当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2.答案2πR212．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13(cm)．答案13三、解答题13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的主视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的左视图；(2)求该安全标识墩的体积．解析(1)左视图同主视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为V＝VPEFGH＋VABCDEFGH＝13×402×60＋402×20＝64000(cm3)．14.一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）解析(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V＝1×1×3＝3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，S＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋23.15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，主视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解析由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如右图所示．(1)几何体的体积为：V＝13·S矩形·h＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝42＋42＝42.故几何体的侧面面积为：S＝2×12×8×5＋12×6×42＝40＋242.16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．解析(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，∴VA-BCD＝VA-BPC＋VD-BPC＝13·S△BPC·AP＋13S△BPC·PD＝13·S△BPC·AD＝13·12·aa2－x24－a24·x＝a12a2－x2x2≤a12·3a22＝18a3(当且仅当x＝62a时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为18a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为62a，∴S表＝2×34a2＋2×12×62a×a2－64a2＝32a2＋62a×10a4＝32a2＋15a24＝23＋154a2.