您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 资本运营 > 高考数学综合能力题30讲第19讲二次曲线与二次曲线
数学高考综合能力题选讲19二次曲线与二次曲线100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测高考说明中明确指出:“对于圆锥曲线的内容,不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题(两圆的交点除外)”.但是,在解答某些问题时(如1990年全国理科25题),难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题,因此,应该让学生明白:双二次曲线消元后,得到的方程的判别式与交点个数不等价.其次,有些问题涉及两个二次曲线,但所讨论和研究的并不是交点,而是它们的某些参量之间的关系,由于涉及到的参量较多,问题往往显得较为复杂,这类问题要特别加以注意,理清思路,顺藤摸瓜,设计好解题步骤.范例选讲例1.讨论圆221:1Cxay与抛物线22:Cyx的位置关系.讲解:圆221:1Cxay是以,0a为圆心,1为半径的圆,从草图不难发现,当1a时,圆与抛物线无公共点;当1a时,圆与抛物线相切;当11a时,圆与抛物线相交;而当1a时,圆与抛物线的关系则很难从图形上加以判断.为此,我们需借助方程组2221xayyx的解的个数来加以说明.把2yx代入221xay,整理得:221210xxaa(*).此方程的判别式54a.可以看到:当54a时,0;当54a时,0;当54a时,0.事实上,当54a时,的确有圆与抛物线相切;当54a时,圆与抛物线无公共点.而当54a时,虽然有方程(*)的0,但圆与抛物线却并不总有公共点,也即判别式与方程组解的个数不等价.造成这种情况的原因实际上是由于:在方程组转化为方程(*)的过程中,忽略了条件0x.事实上,方程组解的个数等于方程(*)的非负解的个数.综上,圆221:1Cxay与抛物线22:Cyx的位置关系如下:当1a或54a时,圆与抛物线无公共点;当1a时,圆与抛物线相切(只有一个公共点);当11a时,圆与抛物线相交(两个公共点);当1a时,圆与抛物线相交(三个公共点);当514a时,圆与抛物线相交(四个公共点);当54a时,圆与抛物线相切(两个公共点).点评:双二次曲线的问题,要注意判别式的符号与交点个数并不完全等价.例2.已知椭圆22122:10xyCabab,它的离心率为33.直线:2lyx,它与以原点为圆心,以1C的短半轴为半径的圆O相切.(Ⅰ)求椭圆1C的方程;(Ⅱ)设椭圆1C的左焦点为F,左准线为1l.动直线2l垂直1l于点P,线段PF的垂直平分线交2l于点M.试点M到圆O上的点的最短距离.讲解:(Ⅰ)∵直线:2lyx与以原点为圆心,以b为半径的圆相切.∴2b.又∵椭圆的离心率为33.∴3a.∴椭圆1C的方程为22132xy.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:椭圆1C的左焦点F的坐标为1,0,左准线1l的方程为:3x.连接FM,则FMPM.由抛物线的定义不难知道:点M的轨迹为以F1,0为焦点,以1l:3x为准线的抛物线,其方程为:242yx.所以,点M到圆O上的点的最短距离,实际上就是抛物线242yx与圆222xy上的点的最短距离.下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这个问题.解法一:首先,如果抛物线上点A与圆上点B之间距离最小,则AB必过圆心O.(否则,连接OB、OA,设OA交圆于点N,则r+NA=OAOB+AB=r+AB,即NABA,与AB最小矛盾.所以,只需求出圆心O到抛物线上点的最短距离即可.)在抛物线上任取一点M(x,y),则22224224MOxyxxx由于2x.所以,2MO(等号当且仅当2x时取得).所以,上述最短距离为22MOr.解法二:用纯代数的方法去思考.设22,2Mmm为抛物线上任意点,2cos,2sinQ为圆上任意点,则222222cos22sinMQmm242cos4242sin6mmm222424232cos6mmm44228cos6mm446228mm2244222m等号当且仅当抛物线和圆上的两点分别为2,0M和2,0Q时取得.点评:方法二需要较强的代数变形的能力,充分运用图形的几何性质可以使得问题简化.例3.已知双曲线1C和椭圆2C有相同的焦点)0,1cF(和)0()0,(2ccF,两曲线在第一象限内的交点为P.椭圆2C与y轴负半轴交于点B,且BFP、、2三点共线,2F分有向线段F1OF2xQByPPB的比为1:2,又直线PB与双曲线1C的另一交点为Q,若532QF.(Ⅰ)求椭圆2C的离心率(Ⅱ)求双曲线1C和椭圆2C的方程.讲解:(Ⅰ)要求椭圆2C的离心率,可以先只考虑与椭圆2C有关的条件.注意到:BFP、、2三点共线,且2F分有向线段PB的比为1:2.所以,若设椭圆的方程为:222210xyabab,则点P的坐标为3,22bPc.代入椭圆方程,可解得椭圆的离心率33e.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得椭圆的方程为:2222132xycc,点P的坐标为32,22Pcc.直线PB的方程为:2yxc设双曲线的方程为:22221,0xymnmn,则222mnc.∵32,22Pcc在双曲线上,∴222229124ccncn化简得:2214nc.故2234mc.将直线PB的方程代入双曲线方程2222441xycc,消去y,得:222048270xxcc.解得1239,210xcxc.从而22223312105FFQxxc.∴椭圆方程为221128xy,双曲线方程为2213xy.点评:解答本题,最大的问题在于:所给条件杂乱无序,不知从何入手.为此,应该理清头绪,层层递进,分步解答.高考真题1.(1988年全国高考题)直线L的方程2px,其中0p;椭圆的中心为2,02pD,焦点在x轴上,长半轴长为2,短半轴长为1,它的一个顶点为,02pA.问:p在那个范围内取值时,椭圆上有四个不同的点,他们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离.2.(1990年全国高考题)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率32e,已知点30,2P到这个椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标.[答案与提示:1.103p;2.22111,3,,3,422xy]
本文标题:高考数学综合能力题30讲第19讲二次曲线与二次曲线
链接地址:https://www.777doc.com/doc-1916881 .html