2011年高考数学一轮复习精品课件：函数的单调性复习

§2.3函数的单调性基础知识自主学习要点梳理1.函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2定义当x1x2时,都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是___________自左向右看图象是__________f（x1）f(x2)f(x1)f(x2)上升的下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是________或________，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，________叫做f（x）的单调区间.增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有___________；②存在x0∈I,使得_____________.①对于任意x∈I，都有____________；②存在x0∈I,使得_______________.结论M为最大值M为最小值f（x）≤Mf（x0）=Mf（x）≥Mf（x0）=M基础自测1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.解析∵y=-x+1,y=x2-4x+5,分别为一次函数、二次函数、反比例函数,从它们的图象上可以看出在（0，2）上都是减函数.xy2Bxy2x2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根（）A.有且只有一个B.有2个C.至多有一个D.以上均不对解析∵f（x）在R上是增函数，∴对任意x1,x2∈R,若x1x2,则f(x1)f(x2),反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个.若对任意x∈R都有f(x)≠0,则f(x)=0无根.C3.已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（）A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.（-∞,-1)∪(1,+∞)解析由已知条件：不等式等价于解得-1x1,且x≠0.)1(|)1(|fxf,1|1|x,01||xxC4.函数y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则()A.B.C.D.解析使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则2k+10，即21k21k21k21k.21kD5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0；②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0；③④其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为______.解析依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y=f（x）为增函数.;0)()(2121xxxfxf.0)()(2121xxxfxf①③题型分类深度剖析题型一函数单调性的判断判断下列函数的单调性，并证明.先判断单调性，再用单调性的定义证明.（1）采用通分进行变形，（2）采用因式分解进行变形，（3）采用分子有理化的方式进行变形.【例1】).,1[,1)()3();,1[,12)()2();,1(,12)()1(2xxxfxxxxfxxxf思维启迪解（1）函数下面采用定义证明:任取x1、x2∈（-1，+∞），且-1x1x2，则有x1-x20，∵-1x1x2,∴x1+10,x2+10,x2-x10.即f(x1)-f(x2)0，所以f(x1)f(x2)..),1(12)(上为减函数在xxf,)1)(1()(21212)()(21122121xxxxxxxfxf,0)1)(1()(22112xxxx故在（-1，+∞）上为减函数.（2）函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上为减函数，证明如下：任取x1、x2∈R，且x2x1≥1,则f(x1)-f(x2)==(x2+x1)(x2-x1)+2(x1-x2)=(x2-x1)(x2+x1-2).∵x2x1≥1,∴x2-x10,x2+x12,x2+x1-20,∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)0,即有f(x1)f(x2).12)(xxf)12()12(222121xxxx)(2)(212122xxxx故函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上是减函数.（3）函数f(x)=在［-1，+∞）上为增函数，证明如下：任取x1、x2∈［-1,+∞）且-1≤x1x2，则有x1-x20，1x11)1()1(11)11)(11(11)()(21212121212121xxxxxxxxxxxxxfxf∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).故函数f(x)=在［-1,+∞）上为增函数.对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.,011.01,01,0,1,1121212121212121xxxxxxxxxxxxxx探究提高1x知能迁移1已知函数证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.（1）用函数单调性的定义.（2）用导数法.证明任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1x2,则x2-x10,).1(12)(axxaxfx,01112xxxaa且思维启迪又∵x1+10,x2+10,于是f(x2)-f(x1)=故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.,0)1(12112xxxxxaaaa,0)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122xxxxxxxxxxxxxx,01212112212xxxxaaxx题型二复合函数的单调性【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减函数的区间是()A.(3,6)B.(-1,0)C.(1,2)D.（-3,-1）先求得函数的定义域，然后再结合二次函数、对数函数的单调性进行考虑.解析由x2-2x-30，得x-1或x3,结合二次函数的对称轴直线x=1知，在对称轴左边函数y=x2-2x-3是减函数，所以在区间（-∞，-1）上是减函数，由此可得D项符合.思维启迪D（1）复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数.（2）讨论复合函数单调性的步骤是：①求出复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单调性；③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.探究提高知能迁移2函数y=的递减区间为（）A.(1,+∞)B.C.D.解析作出t=2x2-3x+1的示意图如图所示，∵01,∴递减.要使递减,t应该大于0且递增,故x∈(1,+∞).)132(log221xxty21log21)132(log221xxy]43,(),43[),21(A题型三抽象函数的单调性与最值【例3】已知函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f（x）+f（y）=f(x+y)，且当x0时，f(x)0,f(1)=（1）求证：f（x）在R上是减函数；（2）求f（x）在［-3，3］上的最大值和最小值.问题（1）对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值,证明f（x）为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证.问题(2)用函数的单调性即可求最值.思维启迪.32（1）证明方法一∵函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),∴令x=y=0，得f(0)=0.再令y=-x,得f(-x)=-f(x).在R上任取x1x2,则x1-x20,f（x1）-f（x2）=f（x1）+f(-x2)=f(x1-x2).又∵x0时,f(x)0,而x1-x20,∴f(x1-x2)0,即f(x1)f(x2).因此f(x)在R上是减函数.方法二设x1x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2).又∵x0时,f(x)0.而x1-x20,∴f(x1-x2)0,即f(x1)f(x2),∴f(x)在R上为减函数.(2)解∵f(x)在R上是减函数,∴f(x)在［-3,3］上也是减函数,∴f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2.∴f(x)在［-3,3］上的最大值为2,最小值为-2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,对任意x1,x2在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或与1的大小.有时根据需要,需作适当的变形:如或x1=x2+x1-x2等.探究提高)()(21xfxf2121xxxx设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且满足下面两个条件:①对于任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y);②当x1时,f(x)0,试判断函数y=f(x)在(0,+∞)上的单调性.知能迁移3解设x1x20,则又∵当x1时，f(x)0，而∴即f(x1)-f(x2)0,∴f（x1）f(x2)，∴函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递减.,121xx).()()()()()()()(212221222121xxfxfxfxxfxfxxxfxfxf,121xx,0)(21xxf题型四函数单调性与不等式【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.问题（1）是抽象函数单调性的证明，所以要用单调性的定义.问题（2）将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”，为此需将右边常数3看成某个变量的函数值.思维启迪（1）证明设x1,x2∈R，且x1x2,则x2-x10,∴f(x2-x1)1.f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.∴f（x2）f(x1).即f(x)是R上的增函数.解题示范［2分］［5分］［6分］（2）解∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2),∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-22,解得-1m,故解集为f(x)在定义域上（或某一单调区间上）具有单调性，则f(x1)f(x2)f(x1)-f(x2)0,若函数是增函数,则f(x1)f(x2)x1x2,函数不等式（或方程）的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式（或方程）求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行.34)34,1(探究提高［8分］［10分］［12分］知能迁移4已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足=f(x1)-f(x2)，且当x1时，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.解（1）令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.)(21xxf（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1x2,