定义域和值域的求法(经典)

函数定义域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。(6)0x中x0二、抽象函数的定义域1.已知)(xf的定义域，求复合函数][xgf的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(xf的定义域为bax,，求出)]([xgf中bxga)(的解x的范围，即为)]([xgf的定义域。2.已知复合函数][xgf的定义域，求)(xf的定义域方法是：若][xgf的定义域为bax,，则由bxa确定)(xg的范围即为)(xf的定义域。3.已知复合函数[()]fgx的定义域，求[()]fhx的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由][xgf定义域求得xf的定义域，再由xf的定义域求得][xhf的定义域。4.已知()fx的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。函数值域求法四种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数x1y的值域。解：∵0x∴0x1显然函数的值域是：),0()0,(例2.求函数x3y的值域。解：∵0x3x3,0x故函数的值域是：]3,[2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3.求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。解：将函数配方得：4)1x(y2∵]2,1[x由二次函数的性质可知：当x=1时，4ymin，当1x时，8ymax故函数的值域是：[4，8]3.判别式法例4.求函数22x1xx1y的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程0x)1y(x)1y(2（1）当1y时，Rx0)1y)(1y(4)1(2解得：23y21（2）当y=1时，0x，而23,211故函数的值域为23,21例5.求函数)x2(xxy的值域。解：两边平方整理得：0yx)1y(2x222（1）∵Rx∴0y8)1y(42解得：21y21但此时的函数的定义域由0)x2(x，得2x0由0，仅保证关于x的方程：0yx)1y(2x222在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为23,21。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵2x00)x2(xxy21y,0ymin代入方程（1）解得：]2,0[22222x41即当22222x41时，原函数的值域为：]21,0[注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例6.求函数1xxy的值域。解：令t1x，)0t(则1tx2∵43)21t(1tty22又0t，由二次函数的性质可知当0t时，1ymin当0t时，y故函数的值域为),1[课堂练习一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴221533xxyx⑵211()1xyx⑶021(21)4111yxxx2、设函数fx()的定义域为[]01，，则函数fx()2的定义域为___；函数fx()2的定义域为________；3、若函数(1)fx的定义域为[]23，，则函数(21)fx的定义域是；函数1(2)fx的定义域为。4、知函数fx()的定义域为[1,1]，且函数()()()Fxfxmfxm的定义域存在，求实数m的取值范围。5、若函数()fx=3442mxmxx的定义域为R,则实数m的取值范围是（）A、(－∞,+∞)B、(0,43]C、(43,+∞)D、[0,43)6、若函数2()1fxmxmx的定义域为R，则实数m的取值范围是（）(A)04m(B)04m(C)4m(D)04m7.已知函数()fx的定义域为15，，求(35)fx的定义域．8.若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为。9.已知函数2(22)fxx的定义域为03，，求函数()fx的定义域．10.已知函数的定义域为，则的定义域为________。11.函数定义域是，则的定义域是（）A.B.C.D.12.已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.13.若()fx的定义域为35，，求()()(25)xfxfx的定义域．14.已知函数的定义域是，求的定义域。15.若函数f(x+1)的定义域为[－21，2]，求f(x2)的定义域．二、求函数的值域1.函数211fxxRx的值域是_________2.2222xxyx的值域是________3.12yxx的值域是__________4.二次函数247,0,3yxxx的值域为。5.函数265yxx的值域是15函数241yxx的值域是6.函数224yxx的值域是（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆[2,2]B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆[1,2]C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆[0,2]D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆[2,2]7.若函数y=x2-3x-4的定义域为［0,m］，值域为［-425,-4］，则m的取值范围是()A.(0,4B.［23,4］C.［23,3］D.［23,+∞)8.221xxyxx9.如何求函数23(1)1xyxx的值域？21(1)3xyxx呢？课后小结：（1）求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件。（2）函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视。（3）定义域的求法:见上面讲义。（4）求函数值域时要先观察函数的结构特征，然后选好所适合的方法来解题，尤其要注意根据定义域来求值域，不要忽略定义域的范围。家庭作业1.设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为________。（2）函数的定义域为__________。2、已知函数的定义域为，则的定义域为__________3、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为________。4、4.设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求y=f()31()31xfx定义域。5.55、若函数aaxaxy12的定义域是R，求实数a的取值范围奎屯王新敞新疆6.求下列函数的值域223yxx()xR223yxx[1,2]x225941xxyx＋245yxx2445yxx12yxx