数值分析牛顿插值法

iiijjijiilxlbx11nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211bAxni,,3,22.2.2Newton插值法§2.2.3等距节点插值公式§华长生制作2)(xljnjiiijixxxx0)()(nj,,2,1,0我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成,1,0xx),)((10xxxx)())((110nxxxxxx,共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？华长生制作3,1,0xx),)((10xxxx)())((110nxxxxxx,显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数,ix设插值节点为(),0,1,,iiffxin函数值为1,,2,1,0,1nixxhiiiiihhmaxnifxPii,,1,0,)(插值条件为)())(())(()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaaxP具有如下形式设插值多项式)(xP华长生制作4nifxPxPii,,1,0,)()(应满足插值条件000)(afxP有)()(011011xxaafxP00fa01011xxffa))(()()(12022021022xxxxaxxaafxP12010102022xxxxffxxffa再继续下去待定系数的形式将更复杂为此引入差商和差分的概念华长生制作5一、差商(均差)定义1.nifxxfii,,1,0,)(处的函数值为在互异的节点设称)(],[jixxffxxfjijiji)(,)(均差一阶差商关于节点为jixxxf)(],[],[],,[kjixxxxfxxfxxxfjkjikikji的二阶差商关于为kjixxxxf,,)(依此类推华长生制作6],,,,[110kkiiiixxxxf阶差商的关于节点为kxxxxxfkkiiii,,,,)(110],,,,[110kkxxxxf差商具有如下性质(请同学们自证)：且的线性组合表示可由函数值阶差商的,)(,),(),(],,,,[)()1(10110kkkxfxfxfxxxxfkxf显然kkkkkiiiiiiiiixxxxxxfxxxf1210110],,,,[],,,[kkkkkxxxxxxfxxxf1210110],,,,[],,,[华长生制作7],,,,[110kkxxxxfkikiiiiiiixxxxxxxxxf0110)())(()()((2)差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变],,[210xxxf],,[120xxxf],,[012xxxf如,,,,)()3(10)的区间存在时在包含节点当（kkxxxxf使得之间必存在一点在,,,,10kxxx],,,[10kxxxf用余项的相同证明!)()(kfk华长生制作8)()()()()()(4433221100xfxxfxxfxxfxxfxxfxkk四阶差商三阶差商二阶差商一阶差商差商的计算方法(表格法):],[10xxf],[21xxf],[32xxf],[43xxf],,[210xxxf],,[321xxxf],,[432xxxf],,,[3210xxxxf],,,[4321xxxxf],,,[410xxxf规定函数值为零阶差商差商表Chashang.m华长生制作9xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+2]002832751256216402081923827493527125915612521650341910251949143649911055101261014例1求f(xi)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值解:计算得如下表华长生制作10二、Newton基本插值公式)())(())(()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaaxP设插值多项式满足插值条件nifxPii,,1,0,)(则待定系数为00fa],[101xxfa],,[2102xxxfa],,,[10nnxxxfa华长生制作11)())(())(()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxNnkkjjkxxxxxff110100)(],,,[称基本插值多项式次的关于节点为Newtonnxxfi)(定义3.)()()(xNxfxRnn)()!1()(1)1(xnfnn由插值多项式的唯一性,Newton基本插值公式的余项为nkkkxxxxff1100)(],,,[10)(kjjxx)(xk为k次多项式华长生制作12],,,,[10xxxxfk],,,,[110xxxxfk则视为一个节点若将,),,1,0(,nixxi因此可得)](,[)(000xxxxffxf)))(](,,[],[(0110100xxxxxxxfxxff))(](,,[)](,[10100100xxxxxxxfxxxxffnjjnnkkjjkxxxxxxfxxxxxff010110100)(],,,,[)(],,,[xxxxxxfxxxfkkk],,,,[],,,[11010)](,,,,[],,,[1010kkkxxxxxxfxxxf下面推导余项的另外一种形式华长生制作13)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn)(],,,,[110xxxxxfnnnjjnnxxxxxxfxN010)(],,,,[)()()(xRxNnn因此)!1()()1(nfn],,,,[10nxxxxf!)()(kfk],,,[10kxxxf)(xRk)(],,,[1110xxxxfkknk一般Newton插值估计误差的重要公式另外华长生制作14..6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1插值多项式求四次牛顿时设当iixfx练习kxkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0123412345147863301-1-1/3-2-3/2-1/61/24)()4)(3)(2)(1()()3)(2)(1(0)2)(1(3)1(1)(241314xxxxxxxxxxxN112332248331294241xxxx华长生制作152.2.3等距节点插值公式定义.称处的函数值为在等距节点设,,,1,0,)(0nkfkhxxxfkkkkkfff1处的一阶向前差分在为kxxf)(1,,1,0nk1kkkfff处的一阶向后差分在为kxxf)(nk,,2,1kkkfff12处的二阶向前差分在为kxxf)(12kkkfff处的二阶向后差分在为kxxf)(华长生制作16kmkmkmfff111阶向前差分处的在为mxxfk)(阶向后差分处的在为mxxfk)(依此类推111kmkmkmfff可以证明mkmkmff1kkff222kkff333kkff如华长生制作174433221100fxfxfxfxfxfxkk四阶差分三阶差分二阶差分一阶差分0f1f2f3f02f12f22f03f13f04f差分表4f3f2f1f42f32f22f43f33f44f华长生制作18在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系],[1iixxfhfi],,[21iiixxxf212hffii222hfihfi11222iiffh2222hfi],,,[321iiiixxxxf312223hffii33!3hfiiiiixxff112211],[],[iiiiiixxxxfxxf332121],,[],,[iiiiiiiixxxxxfxxxf华长生制作193322223hfxfii333!3hfi],,,[1miiixxxf依此类推mimhmf!mmimhmf!],,,[10kxxxfkkhkf!0kkkhkf!华长生制作20即是等距节点如果节点,,,,10nxxxnabhnkkhxxk,,,1,0,0],,,[10kxxxfkkhkf!0由差商与向前差分的关系)(xNnnkkkxxxxff1100)(],,,[Newton插值基本公式为如果假设thxx01.Newton向前(差分)插值公式华长生制作2110)(kjjxx)(xk1000)(kjjhxthx10)(kjhjtkkhkf![0nkf10])(10kjhjt![0kfknkf10])(10kjjt)(xNnnkkkxxxxff1100)(],,,[)(0thxNn)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn则插值公式化为其余项)(0thxRn)!1()()1(nfnnjnjth01)(化为华长生制作22)(0thxRn)!1()()1(nfnnjnjth01)(![0kfknkf10])(10kjjt)(0thxNn称为Newton向前插值公式（又称为表初公式）插值余项为华长生制作23![kfnknknf1])(10kjjt)(thxNnn)(thxRnn)!1()()1(nfnnjnjth01)(插值余项为根据向前差分和向后差分的关系mkmkmff如果假设thxxn)0(t可得Newton向后插值公式2.Newton向后(差分)插值公式华长生制作24例4设x0=1.0,h=0.05,给出在处的函数值如表2-5的第3列，试用三次等距节点插值公式求f(1.01)和f(1.28)的近似值。xxf)()6,,1,0(0kkhxxk3201.001.000000.0247011.051.024700.02411-0.0005921.101.048810.02357-0.00054-0.0000531.151.07238………………41.201.095440.02307-0.00048-0.0000351.251.118030.02259-0.0004561.301.140170.0221432kkfxk表2-5华长生制作25解用Newton向前插值公式来计算f(1.01)的近似值。先构造与均差表相似的差分表，见表2-5得上半部分。由t=(x-x0)/h=0.2的得.00499.1)01.1()01.1(3Nf用Newton向后插值公式计算f(1.28)的近似值，可利用表2-5中的下半部分。由t=(x-x6)/h=-0.4，得.13137.1)28.1()28.1(3Nf事实上，f(1.01)和f(1.28)的真值分别为1.00498756和1.13137085。由此看出，计算结果是相当精确的。例2.5已知f(x)=sinx的数值如表2-6的第2列，分别用Newton向前