2014年第五届启智杯真题及答案(小学卷)

第5届启智杯数学思维及应用能力竞赛(小学组)参考答案与评分标准1.观察如下几个等式：（1）331=；（2）57313+=+；（3）79113135++=++；……你发现了什么规律？请据此写出第100个式子。解：第n个式子的分母是前n个连续奇数之和，分子是第n+1至第2n个连续奇数之和，其等号右端都是3。———————————————————————————6分第100个式子为201203...399313...199+++=+++——————————————————+4=10分2.有一个2014位数，其从左到右第2、3位数字分别为2、3，第11、30、2014位数字分别为4、5、6.如果其任何相邻的五位数字之和全相等，请问该数的第一位数字是几？全部2014位数字之和是多少？写出结果，并说明分析过程。解：答案（4分）：第一位数字是4；全部2014位数字之和是8055.——————4分分析过程（6分）：由于其任何相邻的五位数字之和全相等，所以其中任何连续六位数abcdef，总有abcdebcdef++++=++++，因此af=，这说明，这2014位数每五位一循环。———————————————————+2=6分由于11、30、2014被5除余数分别为1、0、4，所以该数的第一位数字是4（前五位分别是4、2、3、6、5）————————————————————+2=8分由于201454024÷=，所以这整个数为(42365)402(4236)20402158040158055++++×++++=×+=+=——————————————————+2=10分1/73．一个非零自然数，如果从左到右顺读和从右到左逆读，都是一样的，则这个数称为“对称数”，如4，55，171，4994，12321等都是对称数，而332不是对称数。那么全部非零自然数（从1开始）从小到大的第2014个对称数是多少？写出结果，并说明分析的过程。【参考答案】一位对称数：有9个(1～9)；———————1分两位对称数：有9个(11，22，33，…，99)；———————+1=2分三位对称数：9×10=90个（1□1，2□2，…，9□9）：———————+1=3分四位对称数：9×10=90个（1□□1，2□□2，…，9□□9）；———————+1=4分五位对称数：9×10×10＝900个（1□□□1，2□□□2，…，9□□□9）；—————+1=5分六位对称数：9×10×10＝900个（1□□□□1，2□□□□2，…，9□□□□9）.共有：9×2＋90×2＋900×2＝1998个。———————+1=6分七位对称数：前10个为1000001，1001001，1002001，…，1009001；———+1=7分接下来的是1010101，1011101，1012101，1013101，1014101，1015101，…———————+1=8分所以，第2014个对称数为1015101.———————+2=10分4．把一张纸片裁剪成8份，称第1次操作；取其中一张再把它裁剪成8份，称第2次操作；如此继续下去，……，能否经过若干次操作正好剪出2014张纸片？若不能，请说明理由；若能，则需要经过多少次操作？写出结果，并说明分析的过程。解答：用na表示第n次操作后得到的纸片数。则81=a，2(81)878a=−+=+，3(81)(81)8728a=−+−+=×+，……，7(1)871nann=−+=+。———————5分若能剪出2014张纸片，则201417=+n，解得：74287=n不是整数，故不能经过若干次操作正好剪出2014张纸片。———————+5=10分2/75.有如下三组数：A组：31，61，101，151；B组：1，3，5，7，9；C组：0.7，1.4，2.1，2.8，3.5，4.2，4.9。从每一组中各取一个数，相乘得到一个乘积，求这140个乘积的总和是多少？写出过程和结果。【参考答案】解答：这140个乘积的总和=（31+61+101+151）(×1+3+5+7+9）(×0.7+1.4+2.1+2.8+3.5+4.2+4.9）——4分=222223344556+++×××××25()70.74.92+×———————+2=6分=1111111123344556−+−+−+−××256.57×———————+2=8分=1126−×980=323263980=。———————+2=10分6．如图所示，五个圆中有部分的圆彼此相切（两个圆有且只有唯一一个公共点称两个圆相切），且总共只有三种不同长度的直径。若图中阴影部分的面积和为72cm，求最大圆内空白处的总面积。【参考答案】解：由图可知：这三种长度的不同的直径从小圆到大圆的长度比为1:2:3.—————2分即由小圆到大圆的面积之比为1:4:9.设最小的圆的面积为s，则另外2个圆的面积从小到大依次为s4，s9。———————+2=4分依题意图中阴影部分的面积为：7)24(=+−sss，73=⇒s。——————+3=7分则最大圆内空白处的总面积=1462)4(9==++−sssss（2cm）。————+3=10分第6题图3/77．如图所示，正方形ABCD和正方形BEFG边长分别为a和b，a：b=2：5，若ACF∆的面积是62cm，求CEF∆的面积。CDGFBEA解答：由a：b=2：3，52ba=，32CEa=，———————2分如图，连结BF，则°=∠=∠45FBGCAB,则BFAC//，从而底为AC的三角形ACF∆与ACB∆同底等高，从而面积相等，即：=∆FACS2216,122BACSaa∆===。———————+6=8分所以CEF∆的面积=21153151512452222882aEFCEaa×××====（2cm）。———————+2=10分CDGFAEB第7题图4/78．通过折纸的手段将一个正方形的每边两等分（对折）、四等分（再对折）、八等分（再对折）等等，都是轻而易举的（如图，虚线为折痕）。请问，你能否在正方形的每边四等分、八等分的基础上，通过折纸将其每边三等分、七等分？能否五等分呢？若能，请在图中用虚线画出你的折痕(用字母标出折痕经过的点)；若不能，请说明理由。【参考答案】答案不唯一，合理即可。（只要给出一边的一个等分点，即认可可以做出相应的等分）三等分、七等分、五等分分别占3、3、4分典型参考做法一（C、F、I分别为底边的三等分点、七等分点、五等分点）：典型参考做法二（图形右边被等分）：5等分正方形边长7等分正方形边长3等分正方形边长C1D1F1MJKLINVTRPQUSBCEGFE1B1ZXYA1WG1DAOH第8题图ABCDEFGHI5/79．请将1,2,3,4，...，11,12共12个数填入下列“井”字图形的12个内，要求：（1）每个数都用一次；（2）每个“口”字四个角上四个数之和均相等，四条直线上四个数之和也相等，且等于各“口”字四个角上四个数之和。解：填法不唯一，写出满足条件的一种填法即可。以下是两种填法，由此旋转、反射的结果也对。要点：四个数之和必然是26.（五个口占5分，四条线占5分;全对给10分）10．明明的QQ号是由五个不同的数字组成的五位数，他把号码口头告诉了A、B、C三位同学。可惜他们都没有记住。A记的是“23865”，B记的是“32856”，C记的是“56328”.如果ABC三人每个人记的五位数中，位置和数字均正确的都只有两位，而且位置不相邻，请问明明的QQ号是多少？写出结果，并说明分析的过程。【参考答案】解：答案（4分）：明明的QQ号是36825分析过程（6分）：把ABC三人记的结果排列如下：A23865B32856C56328由于每个人记对了两个位置，三个人共记对六个位置，总共五位数，由抽屉原理，必然有一位是两个人都记对了，在三人说记的数中，只有百位数出现了两个相同的数字8，故8是AB二人共同记对的数字；———————3分于是C记对的只能是十位数和千位数2、6；———————+1=4分B除了百位8外，还应记住了万位3或个位6，但由于6已经在千位出现，不能重复，故B记对的数是万位3；———————+1=5分最后，A记对的是百位8和个位5.———————+1=6分1042511871261399352811127164106/711．张老师、王老师、李老师三人的年龄为三个连续的自然数，其中张老师28岁，他们三人分别教数学、语文和英语。已经知道：（1）李老师比英语教师年龄大；（2）张老师和语文教师不同岁；（3）语文教师比王老师年龄小。请判断一下，数学、语文、英语教师分别是谁？他们的年龄各为多大？写出结果，并说明分析的过程。解：答案（4分，身份和年龄各2分）：数学、语文、英语教师分别是王老师、李老师、张老师；他们的年龄分别为30、29、28岁。分析过程（6分）：由（2）（3），王老师、张老师都不是语文老师，所以李老师是语文老师。—————3分再由此结合（1）（3），李老师比王老师小、比英语老师大，说明王老师不是英语老师，所以王老师是数学老师，从而张老师是英语老师。———————+2=5分因此三位老师的年龄顺序是：王老师李老师张老师。所以张老师28、李老师29、王老师30.———————+1=6分12．某疗养院共有100个床位，床号为1、2、3、...、100，依次分布在三种不同类型的病房内：单人房、双人房、三人房（每种类型至少有1间，前几间是单人房，接下来几间是双人房，最后几间为三人房）。（1）最少有多少间房？（2）最多有多少间房？（3）如果其中有13个单人房，并且52、53号床在同一个房间，58、59号床不在同一个房间，问这里共有多少个房间？写出结果，并说明分析的过程。解：答案（3分）：（1）最少35个房间；（2）最多97个房间；（3）这时安排49个房间。分析过程（7分）：（1）要使房间数最少，必须尽可能多安排三人房。单人、双人各保留1个，安排三张床，其余97张床可以安排32个三人房，一个单人房。所以房间数为35个；————1分（2）要使房间数最多，必须尽可能多安排单人房。三人、双人各保留1个，安排五张床，其余95张床可以安排95个单人房。所以房间数为97个；——————+1=2分（3）如果其中有13个单人房，安排第1—13号床，之后为双人间，双人间结束的房号一定是奇数；——————+1=3分由于最后的房间全部是3人间，100号是3的倍数加1，所以双人间的最后一个房号又必须是3的倍数加1。所以双人间的最后一个房号既是奇数，又是3的倍数加1，只能是6的倍数加1.——————+2=5分由于58、59号床不在同一个房间，说明58是某个房间结束的房号，58是偶数，所以，双人间在58号床之前已经结束，这些可能的床号有55、49、43等；如果双人房在49号或之前结束，则之后的三人家结束房号依次为52、55等，但52、53号床在同一个房间，所以双人间只能在55号床结束。此时共安排55-13=42个床，21个房间；剩下45张床安排15个三人间。共安排13+21+15=49个房间。——————+2=7分7/7