2014第一届鹏程杯六年级真题和答案

第一届鹏程杯数学邀请赛小学六年级试题参考解答和评分标准（考试时间100分钟，满分120分）一、填空题（满分60分，每小题6分）1.计算：4780×99－(476.4×284＋4764×71.6)÷（1＋199）＝（）。考查内容：速算与巧算.答：1584.解:原式＝4780×99－4764×（28.4＋71.6）×0.99＝4780×99－4764×99＝16×99＝1600－16＝1584.2.字母A，B，C，D代表不同的数码，恰使得2014AAAABBBCCD成立.则ABCDBCDA.考查内容：数字谜和四则运算.答：231156.解：由逐次估算可知，只有1111+888+22-7=2014.则1,8,2,7.ABCD所以18271223471182718756ABCD.BCDA3.如图，10个圆的半径相等，已知阴影部分的面积是48平方厘米，这10个圆的面积之和是多少平方厘米？(π取3.14)考查内容：图形的面积计算.答：94.2.解:四个圆夹在中间的一块可以看成是一个边长为2r的正方形面积减去四个14圆的面积，也就是减去一个圆的面积，即是（2r）2－πr2＝4r2－πr2.阴影部分的面积可表示为：4πr2＋(4r2－πr2)×4＝48即是r2＝3.那么10πr2＝10×3.14×3＝94.2（平方厘米）.故这10个圆的面积之和是94.2平方厘米。4.桌上的盘子里放着60块饼干，5个孩子用它来招待客人。每个孩子从盘子里给每个自己认识的客人拿了1块饼干，然后，客人也从盘子里给每个不认识的孩子拿了1块饼干，此时，盘子里的饼干刚好被拿空。在场一共有个客人。考查内容：简单应用题答：12解：每个孩子认识的客人数加不认识的客人数的和相等60÷5=12（人）5.将一个大正方体木块的六个面都染成红色，然后将这个大正方体切割成3n个小正方体积木.已知至少有2个面为红面的小积木共有44块，则6个面都没染红的小正方体积木共有块.考查内容：空间观念，简易方程.答：27块.解：不妨设大正方体棱长为n，则共有3n个单位正方体小积木.小单位正方体两个面为红色的有122n个，3个面为红色的有8个.因此至少有2个面为红面的小积木块共有122n+8个，列得方程122844n,解得5n.所以6个面都没染红色的单位正方体积木共有35227块.6.电子钟指示时刻由00.00.00到23.59.59.每个时刻显示1秒钟.如图2显示的时刻有两个数字0.那么，在一昼夜期间钟表上显示3个数字7的时刻共有秒.考查内容：简单组合计数.答：72秒.解：如果在表盘上显示的数字为::,abcdmn因为2,5,5,acm那么7,7,7.acm所以出现的3个7只能是7.bdn此时01,0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5.acm或全部得到26672个出现3个7的时刻,而每个时刻显示1秒钟.总计72秒.7.在下面的钉子板上，用橡皮筋最多可以围出（）个正方形。考查内容：分类讨论、计数.答：209个4个1个4个2个9+4+1+4+2=20个8.已知a与b是互质的自然数，且b小于50,则满足1176ab的有序对(,)ab的个数是_____.考查内容：分类讨论、计数.答:18解:由a,b是互质的自然数，和1176ab,得67aba.注意到b小于50.当1a时,没有符合条件的b；当2a时,13b.；当3a时,19,20b；图2当4a时,25,27b；当5a时,31,32,33,34b；当6a时,37,41b；当7a时,43,44,45,46,47,48b；当8a时,49b.所以有18个.9.一个6位的自然数ABCBCA是7的倍数,则2BC的最大值等于_____.考查内容：整数整除和最值.答:27解:10000010000100010010ABCBCAABCBCA,100001101001010ABC142857614427614472ABC7142851442144662ABCABC则662ABC被7整除.因为B、C是阿拉伯数码，所以9BC时,2BC可取得最大值27,此时6272BC,除以7余2,故取2A,则662ABC可以被7整除.所以9BC是可以成立的.10.已知3个不同的非零自然数,它们两两互质,且其中任二数之和都能被第三个数整除,则333222abcabc_____.考查内容：整数整除和计算求值.答:427解:由于a,b,c对称,可设abc.则2abc,即2abc,既然a,b,c中任二数之和都能被第三个数整除,则有1abc,也就是abc.因为|bac,所以|(2)bab,但(,)1ab,所以b|2.此时,1b或2b.但1b时,有1ab,则0a不合题意.所以2b.此时有1a,2b,3cab为所求的三个自然数.所以,333222414362.7abcabc.二、解答题（满分60分，其中第11-13题各10分,第14、15题各15分）11.一张长方形纸片，长为200厘米，将它按如图所示的方式折一下，剪下一个边长等于长方形纸片宽的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形纸片继续按相同的方式操作，剪下一个边长等于此时长方形纸片宽的正方形，如此操作下去。若在第3次操作后，剩下的长方形纸片恰好为正方形，求原长方形纸片的宽.解:如下图所示，分四种情况考虑：（1）剪4个一样大的正方形，原长方形纸片宽：200÷4＝50（厘米）.……（3分）（2）剪2个较大的和2个较小的，原长方形纸片宽：200÷5×2＝80（厘米）.……(6分)（3）剪1个较大的和3个较小的，原长方形纸片宽：200÷4×3＝150（厘米）.……(8分)（4）剪1个较大的和3个较小的，原长方形纸片宽：200÷5×3＝120（厘米）.……(10分)12.小明家离外婆家有2500米的路程，其中平路占15，到外婆家上山路是下山路的23，小明从家出发，用了50分钟到达外婆家。已知小明上山路的速度比平路慢20%，下山路的速度比平路快20%，照这样计算，小明从外婆家返回家里要走多少分钟？解:小明到外婆家，上山路是全程的（1－15）×22＋3＝825,下山路是全程的（1－15）×32＋3＝1225.……(1分)平路、上山路与下山路的路程比是15∶825∶1225＝5∶8∶12.……(2分)平路、上山路与下山路的速度比是1∶（1－20%）∶（1＋20%）＝5∶4∶6.……（3分）那么他在平路、上山路与下山路所用时间的比是55∶84∶126＝1∶2∶2）.……（5分）在平路上所用的时间是50×11＋2＋2＝10（分），在平路的速度是2500×15÷10＝50（米/分），上山路的速度是50×（1－20%）＝40（米/分），下山路的速度是50×（1＋20%）＝60（米/分）.……（7分）返回家里的用时为：10＋2500×825÷60＋2500×1225÷40＝10＋1313＋30＝5313（分）.……（10分）答：小明从外婆家返回家里要走5313分钟.13、如图四边形ABCD为任意四边形，且它的面积为230cm，E、F将AB三等分，G、H将CD三等分，连接FG和EH，则原四边形被分成三个小的四边形，试求中间的小四边形EFGH的面积.解：连接DBDFBHHF、、、.因为1,3DFBDABSS，13BHDBCDSSHGFEDCBA所以，1()3DFBBHDDABBCDSSSS，即13DFBHDABCSS.……(5分)因为HEFHFBSS，FGHFHDSS，所以，HEFFGHHFBFHDSSSS，即HEFGDFBHSS，因此，13HEFGDABCSS＝210cm.……(10分)说明：只给出答案“HEFGS210cm”的给1分.14.为了准备参加“鹏程杯”数学竞赛，小明用5天时间共做了31道练习题.每天做题的数量都比前一天有所增加.如果他第一天做题量是第五天的三分之一，问他第四天作了几道题？简述你的理由.考查内容：题目不难，主要考察说明理由的逻辑表述.答：8道题.解：如果小明在第一天作了不多于两道题,即这意味着在第五天他做了不多于六道题.并且5天做题总数不多于56=30道，小于总题数31道.不符.如果在第一天他做了不少于4道题，那么在第二天做了不少于5道题，在第三天做了不少于6道题，第四天不少于7道题，而在第五天不少于12道题.这样他五天做题总数不少于4+5+6+7+12=34道题.大于总题数31道题.不符.由此得出，在第一天小明只能做3道题.在第五天他作了9道题.我们假设，在第四天他做了不多于7道题，则在第三天他做了不多于6道题，在第二天他做了不多于5道题.五天共做不多于3+5+6+7+9=30道题.不合题意.这样一来，在第四天他只能做8道题.例如：从第一天到第五天分别做3，5，6，8，9道题，或分别做3，4，7，8，9道题——满足题设条件.评分说明：猜到第四天做8道题，可给1分；同时列举了从第一天到第五天分别做3，5，6，8，9道题，或分别做3，4，7，8，9道题的3分；猜到第四天做8道题，并说明了理由的5分；进一步说明“第一天不能做两道题或少于两道题”的另得5分；进一步说明“第一天不能做四道题或多于四道题”的也另得5分.15.如果存在连续的n个非零自然数，每个数的质因数分解式（相同的质因数都写成乘方的形式）中，所有质数的乘方次数都是奇数，这样的n个连续自然数称作一组“n朵梅花数”.如11111131314271535,,就是一组“3朵梅花数”.（1）请你写出一组“4朵梅花数”.（2）试确定n的最大值.并说明理由.考察内容：对新概念的理解，会举符合定义的实例，考察离散极值的求法.解：（1）如111113121372221123232423,,,,就是一组“4朵梅花数”.……（5分）（2）我们先证明8n时不存在“8朵梅花数”.因为8n时，其中连续的8个非零自然数必有一个是8的倍数，设这个数是m,则44m,m至少有一个属于这n个连续的自然数.不妨设4m属于这n个连续的自然数，则4m被4整除但不被8整除，即4m得质因数分解式中2的乘方指数为2（偶数），不符合“梅花数”定义的要求.所以8n时不存在“n朵梅花数”.因此7n.……（10分）我们举例7n是可以达到的.如111115111111292930235313132233311342173557,,,,,,,就是一组“7朵梅花数”.……（15分）