高考调研数学2-3

课时作业(六)1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12答案B解析依题意得a－1＝－2ab＝0，∴a＝13b＝0，∴a＋b＝13＋0＝13.2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数答案A解析由f(x)是偶函数知b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx是奇函数．3．(2011·广东理)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．|f(x)|－g(x)是奇函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)－|g(x)|是奇函数D．f(x)＋|g(x)|是偶函数答案D解析设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．4．(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3答案A解析解法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.解法二：设x0，则－x0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3，故选A.5．已知f(x)(x∈R)为奇函数，f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(3)等于()A.12B．1C.32D．2答案C解析令x＝－1，则f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)，即f(1)＝－f(1)＋f(2)，∴f(1)＝12.∴f(3)＝f(1)＋f(2)＝12＋1＝32.6．f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是()A．1B．4C．3D．2答案B解析由f(2)＝0，得f(5)＝0，∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0，f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0，故f(x)＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个解．点评本题的易错点是，易忽略条件f(x)是偶函数，而且还易出现漏根的情况．7．(2011·湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A．ex－e－xB.12(ex＋e－x)C.12(e－x－ex)D.12(ex－e－x)答案D解析由f(x)＋g(x)＝ex可得f(－x)＋g(－x)＝e－x，又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)－g(x)＝e－x，则两式相减可得g(x)＝ex－e－x2，选D.8．(2012·济南模拟)函数f(x)在定义域R上不是常数函数，且f(x)满足条件：对任意x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(1＋x)＝－f(x)，则f(x)是()A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数答案B解析依题意得，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，所以f(－x＋2)＝f(－x)．又f(2＋x)＝f(2－x)，因此有f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数；若f(x)是奇函数，则有f(－x)＝－f(x)＝f(x)，得f(x)＝0，这与“f(x)不是常数函数”相矛盾，因此f(x)是偶函数但不是奇函数，选B.9．设f(x)＝ax5＋bx3＋cx＋7(其中a，b，c为常数，x∈R)，若f(－2011)＝－17，则f(2011)＝________.答案31解析f(2011)＝a·20115＋b·20113＋c·2011＋7，f(－2011)＝a(－2011)5＋b(－2011)3＋c(－2011)＋7，∴f(2011)＋f(－2011)＝14，∴f(2011)＝14＋17＝31.10．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图像关于________点对称．答案(0,1)解析f(x)的图像是由y＝x3＋sinx的图像向上平移一个单位得到的．11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋5)＝－f(x)＋2，且当x∈(0,5)时，f(x)＝x，则f(2012)的值为________．答案2解析∵f(x＋10)＝f[(x＋5)＋5]＝－f(x＋5)＋2＝－[－f(x)＋2]＋2＝f(x)．∴f(x)的一个周期为10.∴f(2012)＝f(10×201＋2)＝f(2)＝2.12．(2011·上海文)设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为________．答案[－2,7]13．(2012·山东潍坊)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．答案①②⑤解析由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的函数，①正确，f(x)关于直线x＝1对称，②正确，f(x)为偶函数，在[－1,0]上是增函数，∴f(x)在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．14．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围．答案(1)a＝2，b＝1(2)k－13解析(1)因为f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即b－1a＋2＝0⇒b＝1，∴f(x)＝1－2xa＋2x＋1，又由f(1)＝－f(－1)知1－2a＋4＝－1－12a＋1⇒a＝2.(2)解法一由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)0等价于f(t2－2t)－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2tk－2t2.即对一切t∈R有：3t2－2t－k0，从而判别式Δ＝4＋12k0⇒k－13.解法二由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1.又由题设条件得：1－2t2－2t2＋2t2－2t＋1＋1－22t2－k2＋22t2－k＋10，即：(22t2－k＋1＋2)(1－2t2－2t)＋(2t2－2t＋1＋2)(1－22t2－k)0，整理得23t2－2t－k1，因底数21，故：3t2－2t－k0上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k0⇒k－13.15．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．思路(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)是周期函数；(2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[－2,0]的解析式，进而求f(x)在[2,4]上的解析式；(3)由周期性求和的值．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．(3)解∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是()A．y＝ex－e－xB．y＝lg1＋x1－xC．y＝cos2xD．y＝sinx＋cosx答案D2．已知f(x)为奇函数，当x0，f(x)＝x(1＋x)，那么x0，f(x)等于()A．－x(1－x)B．x(1－x)C．－x(1＋x)D．x(1＋x)答案B解析当x0时，则－x0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于()A．－1B．1C．－2D．2答案A解析∵函数周期T＝5，且为奇函数，∴f(1)＝f(1－5)＝f(－4)＝－f(4)＝1.∴f(4)＝－1.又∵f(2)＝f(2－5)＝f(－3)＝－f(3)＝2，∴f(3)＝－2.∴f(3)－f(4)＝－2－(－1)＝－1.4．若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(3)－2f(－3)＝0，则fx－f－x2x0的解集为()A．(－∞，－3)∪(0,3)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C．(－3,0)∪(0,3)D．(－3,0)∪(3，＋∞)答案C解析因为函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(－3)＝－f(3)，由f(3)－2f(－3)＝0，得3f(3)＝0，f(3)＝0.又因为f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以当x3或－3x0时，f(x)0；当x－3或0x3时，f(x)0.由fx－f－x2x0，即fxx0，可知－3x0或0x3，故选C.5．定义在R上的函数f(x)满足：对任意α、β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2011，则下列说法正确的是()A．f(x)－1是奇函数B．f(x)＋1是偶函数C．f(x)－2011是偶函数D．f(x)＋2011是奇函数答案D解析令α＝β＝0，则得f(0＋0)－[f(0)＋f(0)]＝2011，解得f(0)＝－2011，显然f(0)＋2011＝0.又令α＝x，β＝－x，则有f(0)－[f(x)＋f(－x)]＝2011，所以－[f(x)＋2011]＝f(－x)＋2011.设g(x)＝f(x)＋2011，故有g(－x)＝－g(x)，所以函数f(x)＋2011是奇函数．故选D.6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，总有f(x＋2)＝－f(x)成立，则f(19)＝________.答案0解析依题意得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的函数，因此有f(19)＝f(4×5－1)＝f(－1)＝f(1)，且f(－1＋2)＝－f(－1)，即f(1)＝－f(1)，f(1)＝0，因此f(19)＝0.1．在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)()A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数思路根据函数是偶函数和关系式f(x)＝f(2－x)，可得函数图像的两条对称轴，只要结合这个对称性就可以逐次作出这个函数的图像，结合图像对问题作出结论．答